Funcions analítiques. Aplicacions

📋 RESUM: Funcions analítiques i aplicacions • Derivabilitat complexa: f'(z₀) = lim[h→0] (f(z₀+h)-f(z₀))/h (límit independent de la direcció) • Equacions de Cauchy-Riemann: ∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x (condició necessària i suficient) • Funció analítica (holomorfa): derivable en tot punt d'un obert; implica C∞ i desenvolupable en sèrie de Taylor • Funcions harmòniques: Δu = 0; les parts real i imaginària d'una funció analítica són harmòniques conjugades • Teorema de Cauchy: ∮f(z)dz = 0 per a f analítica en domini simplement connex • Fórmula integral de Cauchy: f(z₀) = (1/2πi)∮f(z)/(z-z₀)dz • Sèrie de Laurent: desenvolupament amb potències negatives per a singularitats • Singularitats: evitables (límit finit), pols (límit infinit), essencials (comportament caòtic) • Residu: coeficient a₋₁ de Laurent; Res(f,z₀) per a pol simple = lim(z-z₀)f(z) • Teorema dels residus: ∮f(z)dz = 2πi·Σ Res(f,zₖ) — eina per calcular integrals reals • Aplicacions: dinàmica de fluids, electroestàtica, transformacions conformes, teoria de nombres