Superfícies. Curvatura

📋 RESUM: Superfícies i curvatura • Superfície parametritzada: X(u,v)∈ℝ³ regular si X_u×X_v≠0 • Pla tangent: generat per X_u i X_v; normal unitari n=(X_u×X_v)/‖X_u×X_v‖ • 1a forma fonamental: I=E du²+2F dudv+G dv², E=⟨X_u,X_u⟩, F=⟨X_u,X_v⟩, G=⟨X_v,X_v⟩ • Longitud i àrea: L=∫√(Eū²+2Fūṽ+Gṽ²)dt; dA=√(EG−F²)dudv • 2a forma fonamental: II=e du²+2f dudv+g dv², e=⟨X_uu,n⟩, f=⟨X_uv,n⟩, g=⟨X_vv,n⟩ • Curvatures principals k₁,k₂: autovalors de l’operador forma; det(II−kI)=0 • Curvatura gaussiana: K=k₁k₂=(eg−f²)/(EG−F²), intrínseca (teorema egregi) • Curvatura mitjana: H=(k₁+k₂)/2; superfícies mínimes si H=0 • Signes de K: K>0 el·líptica; K=0 desenvolupable; K<0 sella • Geodèsiques: corbes de curvatura geodèsica nul·la, localment minimitzen distància; a l’esfera són grans cercles