Còrbes còníques. Classificació

📋 RESUM: Corbes còniques i classificació • Definició geomètrica: secció d'un con per un pla; angle pla/eix determina el tipus • El·lipse: d(P,F₁)+d(P,F₂)=2a; eq. canònica x²/a²+y²/b²=1; excentricitat e=c/a<1 • Hipèrbola: |d(P,F₁)-d(P,F₂)|=2a; eq. canònica x²/a²-y²/b²=1; e=c/a>1; asímptotes y=±(b/a)x • Paràbola: d(P,F)=d(P,directriu); eq. canònica y²=2px; e=1 • Relació focus-directriu: d(P,F)/d(P,d)=e per a totes les còniques • Equació general: Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0 • Discriminant: δ = AC-B²/4 determina el tipus (>0 el·líptic, =0 parabòlic, <0 hiperbòlic) • Classificació completa: usar δ i Δ=det(M) per distingir casos degenerats • Reducció canònica: 1) Rotació per eliminar Bxy, 2) Translació per completar quadrats • Propietats òptiques: reflexió respecte focus (paràbola concentra raigs paral·lels) • Coordenades polars: r = l/(1+e·cos θ) amb focus a l'origen • Tangent: equació polaritzada respecte al punt de tangència