Quàdriques. Classificació

📋 RESUM: Quàdriques i classificació • Quàdrica: superfície de 2n grau en ℝ³: Ax²+By²+Cz²+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0 • Forma matricial: XᵀQX + LᵀX + J = 0 amb Q simètrica (part quadràtica) • Rotacions: per teorema espectral, Q es diagonalitza amb canvi ortogonal → elimina termes mixtos • Translacions: completar quadrats elimina termes lineals; si queda sense lineals → quàdrica central (té centre) • Invariants: rang rg(Q) i signatura (p,n) (Sylvester); determinants det(Q) i det(M) per casos degenerats • Formes canòniques centrals: el·lipsoide x²/a²+y²/b²+z²/c²=1; hiperboloides (1 fulla o 2); con el·líptic (=0) • Formes parabòliques (rang 2): paraboloide el·líptic x²/a²+y²/b²=2pz; paraboloide hiperbòlic x²/a²−y²/b²=2pz • Cilindres: una variable no apareix → cilindre el·líptic/hiperbòlic/parabòlic • Superfícies reglades: con, cilindres, paraboloide hiperbòlic, hiperboloide d’1 fulla • Procediment: construir Q → diagonalitzar → completar quadrats → identificar tipus i realitat/degeneració