T36. Quàdriques. Classificació

Desarrollo del tema

# QUÀDRIQUES. CLASSIFICACIÓ

## 1. Introducció

En geometria analítica de l'espai, una **quàdrica** és una superfície definida per una equació polinòmica de **segon grau** en tres variables. Les quàdriques són l'analogia tridimensional de les còniques del pla: el·lipsoides, hiperboloides, paraboloides, cons i cilindres quadràtics, així com casos degenerats (plans, rectes, punts, etc.).

Des d'una perspectiva algebraica, les quàdriques són superfícies associades a formes quadràtiques i la seva classificació depèn de la signatura de la part quadràtica i del terme lineal. Des d'una perspectiva geomètrica, apareixen en òptica (reflectors parabòlics), mecànica celeste i disseny assistit per ordinador.

## 2. Equació General i Formulació Matricial

### 2.1 Equació general

Una quàdrica en $\mathbb{R}^3$ és el conjunt de punts $(x,y,z)$ que satisfan: $$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Exz+Fyz+Gx+Hy+Iz+J=0.$$

### 2.2 Forma matricial

Definim el vector $X=(x,y,z)^T$. La part quadràtica s'escriu amb una matriu simètrica: $$Q=\begin{pmatrix} A & D/2 & E/2\\ D/2 & B & F/2\\ E/2 & F/2 & C \end{pmatrix},\qquad L=(G,H,I)^T.$$

L'equació és: $$X^TQX + L^T X + J = 0.$$

La classificació es basa en diagonalitzar $Q$ mitjançant un canvi ortogonal de coordenades (rotació) i després eliminar termes lineals per translació.

## 3. Diagonalització: canvis ortogonals

Com que $Q$ és simètrica real, pel **teorema espectral** existeix una matriu ortogonal $P$ i una diagonal $\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ tal que: $$Q=P\Lambda P^T.$$

Amb el canvi $X=P X'$, la part quadràtica queda sense termes mixtos: $$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + \text{(termes lineals)} + J'=0.$$

Així, els **termes creuats** $xy,xz,yz$ es poden eliminar sempre amb una rotació apropiada.

## 4. Translació: completar quadrats

Un cop diagonalitzada la part quadràtica, es tracta l'equació: $$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \lambda_3 z'^2 + a x' + b y' + c z' + J'=0$$ completant quadrats en les variables amb coeficient quadràtic no nul.

Per exemple, si $\lambda_1\neq 0$: $$\lambda_1 x'^2 + a x' = \lambda_1\left(x' + \frac{a}{2\lambda_1}\right)^2 - \frac{a^2}{4\lambda_1}.$$

Aquesta translació porta el centre de la quàdrica (quan existeix) a l'origen.

## 5. Invariants i criteris de classificació

### 5.1 Rang i signatura

La **forma quadràtica** $q(X)=X^TQX$ queda determinada per: - **rang** $r=\mathrm{rg}(Q)$ (nombre d'autovalors no nuls) - **signatura** $(p,n)$ amb $p$ autovalors positius i $n$ negatius (teorema de Sylvester)

Aquests invariants determinen el tipus global (el·líptic, hiperbòlic, parabòlic) de la quàdrica, abans d'afegir translacions i constants.

### 5.2 Determinants

Sovint s'usen determinants associats: - $\det(Q)$ - determinant de la matriu ampliada $$M=\begin{pmatrix}Q & L/2\\ (L/2)^T & J\end{pmatrix}$$

Igual que a les còniques, els valors de $\det(Q)$ i $\det(M)$ ajuden a distingir casos degenerats.

## 6. Quàdriques centrals (amb centre)

Una quàdrica és **central** si existeix un punt $C$ tal que per a tot punt $P$ de la quàdrica, el punt simètric de $P$ respecte de $C$ també hi pertany. Equivalentment, després de translació al centre, l'equació no té termes lineals.

Això passa quan el sistema $2QX + L = 0$ té solució (centre): $$X_c = -\frac{1}{2}Q^{-1}L \quad (\text{si } Q \text{ és invertible}).$$

### 6.1 El·lipsoide

Forma canònica: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 \quad (a,b,c>0).$$

Superfície tancada. Seccions planes són el·lipses.

**Esfera:** cas particular $a=b=c=R$.

### 6.2 Hiperboloide d’una fulla

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Superfície no tancada, connex, amb seccions horitzontals el·líptiques i seccions verticals hipèrboles.

### 6.3 Hiperboloide de dues fulles

$$-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1.$$

Dues components disjuntes (dues “fulles”).

### 6.4 Con el·líptic

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0.$$

Superfície degenerada (homogènia) amb vèrtex a l’origen; generada per rectes.

## 7. Quàdriques parabòliques (sense centre)

Apareixen quan un autovalor és zero després de diagonalitzar (rang 2): la variable corresponent apareix linealment després de completar quadrats.

### 7.1 Paraboloide el·líptic

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=2pz.$$

Seccions $z=\text{const}$ són el·lipses; seccions en plans que contenen l’eix són paràboles. Té aplicació com a reflector (propietat focal).

### 7.2 Paraboloide hiperbòlic

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=2pz.$$

Superfície de sella (curvatura gaussiana negativa). Presenta dues famílies de rectes (és una superfície reglada).

## 8. Cilindres i altres superfícies de segon grau

Si una variable no apareix a l’equació, la quàdrica és un **cilindre**.

- **Cilindre el·líptic:** $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ - **Cilindre hiperbòlic:** $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ - **Cilindre parabòlic:** $y^2=2px$

També poden aparèixer parelles de plans, un sol pla doble, rectes dobles o el buit segons els paràmetres.

## 9. Degeneracions

Les degeneracions són quàdriques que no són superfícies “regulars”. Exemples:

- **Punt:** $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=0$ només té solució $(0,0,0)$. - **Dues plans secants:** $x^2-z^2=0 \Rightarrow (x-z)(x+z)=0$. - **Dos plans paral·lels:** $z^2=1 \Rightarrow z=\pm1$. - **Pla doble:** $z^2=0 \Rightarrow z=0$. - **Recta doble:** $x^2+y^2=0$ en $\mathbb{R}$ dona la recta $x=y=0$? (en realitat només el punt; en quàdriques reals s’ha d’analitzar cas a cas).

Els determinants i el rang distingeixen aquests casos.

## 10. Seccions i generatrius

Les quàdriques es poden estudiar per **seccions** amb plans: - Tallar amb plans $z=k$ dona còniques en el pla - Tallar amb plans que contenen un eix dona seccions “meridianes”

Algunes quàdriques són **reglades** (contingudes de rectes): - Con - Cilindre - Paraboloide hiperbòlic - Hiperboloide d’una fulla

Aquest fet és clau en arquitectura i enginyeria (estructures amb bigues rectes).

## 11. Procediment pràctic de classificació

Donada una quàdrica general: 1. Construir la matriu simètrica $Q$ i diagonalitzar-la (o trobar invariants) 2. Fer canvi ortogonal per eliminar termes mixtos 3. Completar quadrats per eliminar termes lineals 4. Identificar la forma canònica i el tipus 5. Determinar si és real, buida o degenerada segons la constant final

**Idea clau:** el signe dels coeficients quadràtics i la presència d’un terme lineal residual determinen si és el·lipsoide/hiperboloide/paraboloide o un cilindre.

## 12. Conclusions

La teoria de quàdriques connecta àlgebra lineal (formes quadràtiques, diagonalització) amb geometria analítica de l’espai. La classificació es fa reduint l’equació general a una forma canònica mitjançant rotacions (eliminar termes mixtos) i translacions (completar quadrats). Això permet reconèixer el·lipsoides, hiperboloides, paraboloides, cons i cilindres, i identificar també les degeneracions.