T31. Funcions analítiques. Aplicacions

Desarrollo del tema

# FUNCIONS ANALÍTIQUES. APLICACIONS

## 1. Introducció

Les **funcions analítiques** o **holomorfes** constitueixen el nucli de l'anàlisi complexa, una de les branques més elegants i potents de les matemàtiques. Una funció és analítica quan és derivable en un sentit complex, una condició molt més restrictiva que la derivabilitat real, però que atorga propietats extraordinàries: tota funció analítica és infinitament derivable, admet desenvolupament en sèrie de potències i satisfà el principi del màxim.

L'anàlisi complexa té aplicacions fonamentals en física matemàtica, teoria de nombres, dinàmica de fluids, enginyeria elèctrica i moltes altres àrees.

## 2. Nombres Complexos: Recordatori

El cos dels **nombres complexos** és $\mathbb{C} = \{z = x + iy : x, y \in \mathbb{R}\}$, on $i^2 = -1$.

**Formes de representació:** - **Cartesiana:** $z = x + iy$, amb $x = \text{Re}(z)$, $y = \text{Im}(z)$ - **Polar:** $z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$, amb $r = |z| = \sqrt{x^2+y^2}$ i $\theta = \arg(z)$ - **Fórmula d'Euler:** $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

**Conjugat:** $\bar{z} = x - iy$, amb propietats: $z\bar{z} = |z|^2$, $\overline{z_1 z_2} = \bar{z}_1 \bar{z}_2$

## 3. Funcions de Variable Complexa

Una **funció de variable complexa** és una aplicació $f: \Omega \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$. Escrivint $z = x+iy$ i $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$, on $u,v: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$.

**Exemples:** - $f(z) = z^2 = (x^2-y^2) + 2xyi$, amb $u = x^2-y^2$, $v = 2xy$ - $f(z) = e^z = e^x(\cos y + i\sin y)$ - $f(z) = \bar{z} = x - iy$ (NO és analítica)

### 3.1 Límits i Continuïtat

$\displaystyle\lim_{z \to z_0} f(z) = L$ si per a tot $\varepsilon > 0$ existeix $\delta > 0$ tal que $|f(z) - L| < \varepsilon$ sempre que $0 < |z - z_0| < \delta$.

La diferència clau amb $\mathbb{R}$: a $\mathbb{C}$, $z$ pot apropar-se a $z_0$ des de **qualsevol direcció** del pla.

## 4. Derivabilitat Complexa i Equacions de Cauchy-Riemann

### 4.1 Derivada Complexa

Una funció $f$ és **derivable** (o **diferenciable complexa**) en $z_0$ si existeix: $$f'(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0+h) - f(z_0)}{h}$$

on el límit ha de ser el **mateix** independentment de com $h \to 0$ en el pla complex.

### 4.2 Equacions de Cauchy-Riemann

**Teorema (Cauchy-Riemann):** Sigui $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ amb $u,v$ diferenciables en $(x_0,y_0)$. $f$ és derivable complexa en $z_0 = x_0+iy_0$ si i només si: $$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{i} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

En forma compacta: $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0$, on $\displaystyle\frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)$

**Exemple:** Per $f(z) = z^2$: $u = x^2-y^2$, $v = 2xy$ - $u_x = 2x = v_y$ ✓ - $u_y = -2y = -v_x$ ✓

Derivada: $f'(z) = u_x + iv_x = 2x + 2iy = 2z$

**Contraexemple:** Per $f(z) = \bar{z}$: $u = x$, $v = -y$ - $u_x = 1 \neq -1 = v_y$ ✗

Per tant, $f(z) = \bar{z}$ NO és analítica en cap punt.

## 5. Funcions Analítiques (Holomorfes)

### 5.1 Definició

Una funció $f: \Omega \to \mathbb{C}$ és **analítica** (o **holomorfa**) en un obert $\Omega$ si és derivable complexa en tot punt de $\Omega$.

$f$ és **entera** si és analítica en tot $\mathbb{C}$.

### 5.2 Propietats Fonamentals

**Teorema (Propietats de funcions analítiques):** 1. Si $f, g$ són analítiques, també ho són $f+g$, $fg$, $f/g$ (on $g \neq 0$) 2. La composició de funcions analítiques és analítica 3. **Tota funció analítica és infinitament derivable** (contrast amb $\mathbb{R}$!) 4. Tota funció analítica admet desenvolupament en sèrie de potències 5. Les parts real i imaginària ($u$ i $v$) són **funcions harmòniques**: $\Delta u = \Delta v = 0$

### 5.3 Funcions Harmòniques

Una funció $\phi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ és **harmònica** si satisfà l'equació de Laplace: $$\Delta \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$$

De les equacions de Cauchy-Riemann es dedueix que $u$ i $v$ són harmòniques i es diuen **conjugades harmòniques**.

## 6. Sèries de Potències i Analiticitat

### 6.1 Sèries de Potències Complexes

Una **sèrie de potències** centrada en $z_0$ és: $$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n = a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 + \cdots$$

**Radi de convergència:** $\displaystyle R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}$ o bé $\displaystyle R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

La sèrie convergeix absolutament per $|z-z_0| < R$ i divergeix per $|z-z_0| > R$.

### 6.2 Teorema Fonamental

**Teorema:** Una funció $f$ és analítica en un obert $\Omega$ si i només si, per a tot $z_0 \in \Omega$, existeix un entorn on $f$ admet desenvolupament en sèrie de potències convergent: $$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n, \quad a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$$

Aquesta és la **sèrie de Taylor** de $f$ en $z_0$.

## 7. Integració Complexa

### 7.1 Integral de Línia

Sigui $\gamma: [a,b] \to \mathbb{C}$ una corba parametritzada suau. La **integral de línia** de $f$ al llarg de $\gamma$ és: $$\int_\gamma f(z)\,dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t)\,dt$$

### 7.2 Teorema de Cauchy

**Teorema (Cauchy-Goursat):** Si $f$ és analítica en un obert simplement connex $\Omega$ i $\gamma$ és una corba tancada en $\Omega$, llavors: $$\oint_\gamma f(z)\,dz = 0$$

### 7.3 Fórmula Integral de Cauchy

**Teorema:** Si $f$ és analítica dins i sobre una corba simple tancada $\gamma$ orientada positivament, i $z_0$ és interior a $\gamma$: $$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz$$

**Fórmula per a derivades:** $$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i}\oint_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz$$

## 8. Sèries de Laurent i Singularitats

### 8.1 Sèrie de Laurent

Si $f$ és analítica en una corona $0 < |z-z_0| < R$, admet desenvolupament: $$f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z-z_0)^n = \underbrace{\sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n}_{\text{part regular}} + \underbrace{\sum_{n=1}^{\infty} a_{-n}(z-z_0)^{-n}}_{\text{part principal}}$$

### 8.2 Classificació de Singularitats Aïllades

Sigui $z_0$ una singularitat aïllada de $f$:

- **Singularitat evitable:** La part principal és zero. $\lim_{z\to z_0}f(z)$ existeix finit. - **Pol d'ordre $m$:** $a_{-m} \neq 0$ i $a_{-n} = 0$ per $n > m$. $\lim_{z\to z_0}|f(z)| = \infty$ - **Singularitat essencial:** Infinits coeficients $a_{-n} \neq 0$. Comportament erràtic (teorema de Picard).

### 8.3 Residu

El **residu** de $f$ en $z_0$ és el coeficient $a_{-1}$ de la sèrie de Laurent: $$\text{Res}(f, z_0) = a_{-1} = \frac{1}{2\pi i}\oint_\gamma f(z)\,dz$$

Per a un pol simple: $\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z)$

Per a un pol d'ordre $m$: $\displaystyle\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$

## 9. Teorema dels Residus i Aplicacions

### 9.1 Teorema dels Residus

**Teorema:** Si $f$ és analítica en un obert $\Omega$ excepte en singularitats aïllades $z_1, \ldots, z_n$ dins d'una corba tancada $\gamma$: $$\oint_\gamma f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k=1}^{n} \text{Res}(f, z_k)$$

### 9.2 Aplicació: Integrals Reals

**Integrals racionals de funcions trigonomètriques:** $$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\,d\theta$$

Substitució: $z = e^{i\theta}$, $\cos\theta = \frac{z+z^{-1}}{2}$, $\sin\theta = \frac{z-z^{-1}}{2i}$, $d\theta = \frac{dz}{iz}$

**Integrals impròpies:** $$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$$

Es tanca amb un semicercle a la part superior (o inferior) i s'aplica el teorema dels residus.

**Exemple:** $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} = 2\pi i \cdot \text{Res}\left(\frac{1}{1+z^2}, i\right) = 2\pi i \cdot \frac{1}{2i} = \pi$

## 10. Aplicacions

### 10.1 Dinàmica de Fluids

El flux bidimensional d'un fluid ideal incompressible es descriu amb el **potencial complex** $\Phi(z) = \phi + i\psi$, on $\phi$ és el potencial de velocitat i $\psi$ la funció de corrent. La velocitat és $\overline{f'(z)}$.

### 10.2 Electroestàtica

El potencial elèctric en 2D satisfà l'equació de Laplace. Les línies equipotencials són les corbes $u = \text{const}$ i les línies de camp són $v = \text{const}$.

### 10.3 Transformacions Conformes

Les funcions analítiques amb $f'(z) \neq 0$ preserven angles (són **conformes**). Això permet transformar dominis complicats en dominis simples per resoldre problemes de contorn.

**Transformació de Möbius:** $\displaystyle f(z) = \frac{az+b}{cz+d}$, $ad-bc \neq 0$

### 10.4 Teoria de Nombres

La **funció zeta de Riemann** $\displaystyle\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ i la seva extensió analítica són fonamentals per a la distribució dels nombres primers.

## 11. Conclusions

Les funcions analítiques exhibeixen un comportament excepcional: la derivabilitat complexa implica analiticitat, harmonicitat i una estructura global rígida. El teorema dels residus connecta l'anàlisi local (singularitats) amb el càlcul global (integrals), proporcionant eines potentíssimes per a la resolució de problemes en matemàtiques pures i aplicades.