T1. Nombres naturals. Sistemes de numeració

📋 RESUM: Nombres naturals i sistemes de numeració • Axiomes de Peano: 5 axiomes que defineixen ℕ (zero, successor, injectivitat, inducció) • Sistemes posicionals: valor = Σ dᵢ·bⁱ (decimal, binari, hexadecimal) • Sistemes no posicionals: romà (additiu/sostrastiu) • Conversions: divisions successives (10→b), polinomi (b→10) • Operacions: clausura, associativa, commutativa, distributiva • Inducció: pas base + pas inductiu per demostrar ∀n∈ℕ • Història: egipcis, babilonis (base 60), maies (base 20), hindú-àrab (zero!)

T10. Anells i Cossos. Construcció dels Nombres Reals i Complexos

📋 **RESUM - Anells i Cossos** 🔢 **Anell $(A,+,\cdot)$:** Grup abelià $(A,+)$ + semigrup $(A,\cdot)$ + distributivitat ⭐ **Cos $(K,+,\cdot)$:** Anell commutatiu unitari on tot element $\ne 0$ té invers 🏗️ **Construccions:** - $\mathbb{Z}$ des de $\mathbb{N}$: classes d'equivalència de parells $(a,b) \sim a-b$ - $\mathbb{Q}$ des de $\mathbb{Z}$: classes de fraccions $(a,b) \sim a/b$ - $\mathbb{R}$ des de $\mathbb{Q}$: talls de Dedekind o successions de Cauchy - $\mathbb{C}$ des de $\mathbb{R}$: parells $(a,b) = a+bi$ amb producte especial 📊 **Jerarquia:** $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

T11. Espais vectorials. Propietats i estructures

📋 RESUM: Espais vectorials • **Definició:** Conjunt V amb suma i producte per escalars que satisfà 8 axiomes (4 de grup abelià per la suma, 2 del producte, 2 distributius) • **Exemples:** $\mathbb{R}^n$, polinomis $\mathbb{R}[x]_n$, matrius $\mathcal{M}_{m \times n}$, funcions contínues $\mathcal{C}[a,b]$ • **Subespais:** $W \subseteq V$ tancat per suma i producte escalar, amb $\vec{0} \in W$. Fórmula de Grassmann: $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ • **Dependència lineal:** Vectors LD si existeix combinació lineal nul·la amb coeficients no tots zero • **Base:** Conjunt LI i generador. Tot vector s'escriu de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base • **Dimensió:** Nombre d'elements de qualsevol base (invariant per Steinitz). $\dim(\mathbb{R}^n) = n$, $\dim(\mathbb{R}[x]_n) = n+1$ • **Canvi de base:** Matriu $P$ amb columnes = coordenades de la nova base en l'antiga. $[v]_B = P \cdot [v]_{B'}$ • **Espai quocient:** $V/W$ té dimensió $\dim V - \dim W$

T12. Aplicacions lineals. Espai dual

📋 RESUM: Aplicacions lineals i espai dual • **Aplicació lineal:** $f: V \to W$ que satisfà $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$. Queda determinada pels valors sobre una base. • **Nucli i imatge:** $\ker(f) = \{v : f(v) = 0\}$ (subespai de V), $\text{Im}(f) = \{f(v) : v \in V\}$ (subespai de W) • **Teorema rang-nul·litat:** $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) = \dim(V)$ • **Matriu associada:** Columnes = coordenades de $f(e_j)$ en la base d'arribada. $[f(v)]_{B'} = M \cdot [v]_B$ • **Isomorfisme:** Aplicació lineal bijectiva. Dos espais són isomorfs ⟺ mateixa dimensió • **Espai dual:** $V^* = \mathcal{L}(V, K)$ = formes lineals. $\dim(V^*) = \dim(V)$ • **Base dual:** $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (1 si i=j, 0 altrament) • **Bidual:** $V^{**}$ isomorf canònicament a $V$ (reflexivitat en dimensió finita) • **Aplicació dual:** $f^*: W^* \to V^*$ definida per $f^*(\psi) = \psi \circ f$. Matriu = transposada

T13. Matrius. Aplicacions

📋 RESUM: Matrius i aplicacions • **Definició:** Taula $m \times n$ d'elements d'un cos. $\mathcal{M}_{m \times n}(K)$ és espai vectorial de dimensió $mn$ • **Operacions:** Suma (element a element), producte per escalar, producte de matrius (no commutatiu!): $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ • **Transposada:** $(A^T)_{ij} = a_{ji}$. Propietat clau: $(AB)^T = B^T A^T$ • **Matrius especials:** Simètrica ($A^T = A$), antisimètrica ($A^T = -A$), ortogonal ($Q^T Q = I$), diagonal, triangular • **Inversa:** $A^{-1}$ existeix ⟺ $\det(A) \neq 0$ ⟺ $\text{rang}(A) = n$. Càlcul: Gauss-Jordan o adjunta • **Rang:** Nombre màxim de files/columnes LI. Es calcula escalonant • **Operacions elementals:** Intercanvi, escalat, combinació de files → forma escalonada • **Aplicacions:** Sistemes lineals, transformacions geomètriques, grafs, cadenes de Markov, imatges

T14. Determinants. Propietats i aplicacions

📋 RESUM: Determinants • **Definició axiomàtica:** Funció multilineal per files, alternada, amb det(I) = 1 • **Fórmula:** $\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_i a_{i,\sigma(i)}$ • **Propietats clau:** $\det(A^T) = \det(A)$, $\det(AB) = \det(A)\det(B)$, $\det(\lambda A) = \lambda^n \det(A)$ • **Operacions elementals:** Intercanvi → canvi signe, escalar fila → multiplica det, suma files → no canvia • **Càlcul:** Escalonament (Gauss) o desenvolupament per adjunts (Laplace) • **Invertibilitat:** $A$ invertible ⟺ $\det(A) \neq 0$ • **Matriu adjunta:** $A \cdot \text{adj}(A) = \det(A) \cdot I$, per tant $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\text{adj}(A)$ • **Regla de Cramer:** $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ • **Geometria:** $|\det|$ = factor d'escala de volum, signe = orientació • **Autovalors:** $\det(A) = \prod \lambda_i$

T15. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Discussió de sistemes

📋 RESUM: Sistemes d'equacions lineals • **Formulació:** $Ax = b$. Matriu ampliada $(A|b)$ • **Teorema de Rouché-Frobenius:** Compatible ⟺ rang(A) = rang(A|b). Si r = n: determinat. Si r < n: indeterminat amb n-r graus de llibertat • **Sistemes homogenis ($b=0$):** Sempre compatibles. Solucions no trivials si rang(A) < n • **Mètodes de resolució:** - Gauss: escalonament + substitució regressiva - Gauss-Jordan: forma escalonada reduïda - Cramer: $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ (només n×n determinats) - Inversa: $x = A^{-1}b$ • **Estructura de solucions:** $x = x_p + x_h$ (particular + homogènia) • **Interpretació geomètrica:** 2D = rectes, 3D = plans • **Mínims quadrats:** Per sistemes incompatibles, minimitzar $\|Ax-b\|^2$: $(A^TA)\hat{x} = A^Tb$

T16. Espais mètrics. Propietats

📋 RESUM: Espais mètrics • **Definició:** $(X, d)$ amb $d$ satisfent: no negativitat, $d(x,y)=0 ⟺ x=y$, simetria, desigualtat triangular • **Exemples:** $(\mathbb{R}^n, d_2)$ euclidià, mètrica del taxista $d_1$, del màxim $d_\infty$, discreta • **Topologia:** Boles $B(a,r) = \{x : d(x,a) < r\}$. Oberts = unions de boles • **Convergència:** $x_n \to x ⟺ d(x_n, x) \to 0$ • **Continuïtat:** $\varepsilon-\delta$ o preimatge d'oberts és obert • **Completesa:** Tota successió de Cauchy convergeix. $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{C}[a,b]$ són complets • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. En $\mathbb{R}^n$: compacte ⟺ tancat i fitat • **Teorema de Banach:** En espai complet, tota contracció té únic punt fix

T17. Espais topològics. Propietats

📋 RESUM: Espais topològics • **Definició:** $(X, \tau)$ amb $\tau$ = família d'oberts satisfent: ∅, X ∈ τ; unions arbitràries i interseccions finites d'oberts són obertes • **Exemples:** Trivial {∅, X}, discreta 𝒫(X), usual de ℝ, induïda per mètrica, cofinita, Zariski • **Base:** Família B tal que tot obert és unió d'elements de B • **Interior/Clausura/Frontera:** A° = major obert ⊆ A, Ā = menor tancat ⊇ A, ∂A = Ā \ A° • **Continuïtat:** f⁻¹(obert) és obert. Homeomorfisme = bijecció bicontinua • **Hausdorff (T₂):** Punts distints tenen entorns disjunts. Garanteix unicitat de límits • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. Tychonoff: producte de compactes és compacte • **Connexitat:** No és unió disjunta de dos oberts no buits. Connex per arcs ⟹ connex • **Producte/Quocient:** Topologia producte té base U×V. Quocient: V obert ⟺ f⁻¹(V) obert

T18. Funcions reals d'una variable real. Límits

📋 RESUM: Funcions reals i límits • Una funció real d’una variable és $f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. El límit descriu el valor al qual s’apropa $f(x)$ quan $x$ s’apropa a un punt $a$ (sense necessitat que $f(a)$ existeixi). • **Definició $\varepsilon-\delta$:** $\lim_{x\to a} f(x)=L$ si per a tot $\varepsilon>0$ existeix $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. El límit és únic. • **Límits laterals:** el límit existeix si i només si existeixen $\lim_{x\to a^-}f(x)$ i $\lim_{x\to a^+}f(x)$ i coincideixen. • **Límits infinits i a l’infinit:** definicions anàlogues amb $M$ gran o amb $x>A$. Permeten estudiar asímptotes. • **Propietats:** linealitat, producte, quocient (si el denominador no tendeix a 0), potències i composició amb funcions contínues. • **Teoremes clau:** sandvitx (pont), caràcter local, criteri seqüencial (en $\mathbb{R}$). • **Indeterminacions:** $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, etc. Tècniques: factoritzar, racionalitzar, canvis de variable i límits notables. • **Asímptotes:** vertical ($x=a$ si $f\to\pm\infty$), horitzontal ($y=L$ si $x\to\pm\infty$) i obliqua ($y=mx+n$).

T19. Continuïtat de funcions d'una variable real

📋 RESUM: Continuïtat • **Definició:** f és contínua en a si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ (equivalent a la condició $\varepsilon-\delta$). En extrems d’un interval tancat s’utilitza continuïtat unilateral. • **Discontinuïtats:** - Evitable: el límit existeix però f(a) no existeix o és diferent. - De salt: límits laterals finits però diferents. - Infinita: límit lateral és ±∞. - Essencial/oscil·latòria: no existeix límit per oscil·lació. • **Algebra:** suma, producte, quocient (si g(a)≠0) i composició conserven continuïtat. Polinomis sempre continus; racionals on el denominador no és zero. • **Teoremes clau en [a,b]:** - Bolzano: si f(a)f(b)<0, existeix c amb f(c)=0. - Valor intermedi: f pren tots els valors entre f(a) i f(b). - Weierstrass: en [a,b] f és acotada i assoleix màxim i mínim. • **Continuïtat uniforme:** un mateix δ funciona per a tots els punts. Heine–Cantor: continuïtat en compactes ⇒ uniformement contínua. • **Criteri seqüencial:** f és contínua en a ⟺ per a tota successió x_n→a, f(x_n)→f(a).

T2. Fonaments i evolució històrica de la geometria euclidiana

📋 RESUM: Fonaments de la geometria euclidiana • Mètode axiomàtic: termes primitius → axiomes → definicions → teoremes • 5 postulats d'Euclides: el 5è (paral·leles) és el més complex • Evolució: Egipte/Babilònia (pràctica) → Grècia (deductiva) → Àrabs → Renaixement • Teorema de Tales: proporcionalitat en rectes tallades per paral·leles • Teorema de Pitàgores: a² + b² = c² en triangles rectangles • Crisis s.XIX: Bolyai, Lobatxevski, Gauss → geometries no euclidianes • La geometria euclidiana és un model de l'espai, no l'única "veritat"

Auxiliar Administrativo del Estado (C2) (7 temas)

T1. La Constitución Española de 1978: estructura y contenido. Derechos y deberes fundamentales. Su garantía y suspensión.

T2. Las Cortes Generales: composición, atribuciones y funcionamiento del Congreso y del Senado. El Defensor del Pueblo.

T3. El Gobierno y la Administración. El Presidente del Gobierno. El Consejo de Ministros. Organización administrativa española.

T4. La organización territorial del Estado: las Comunidades Autónomas. La Administración local.

T5. La organización de la Unión Europea. Instituciones europeas principales.

T6. Gobierno abierto. Agenda 2030 y ODS. La Administración electrónica.

T7. La Ley 19/2013 de transparencia, acceso a la información pública y buen gobierno.

Navegació i instal·lacions marines (69 temas · mostrando 12)

T1. Tema 1. Interpretació de plànols i esquemes elèctrics i electrònics del vaixell

T10. Tema 10. Descripció i funcionament dels sistemes pneumàtics

T11. Tema 11. Muntatge, conducció i manteniment d'equips pneumàtics aplicats al vaixell

T12. Tema 12. Interpretació de plànols i esquemes de sistemes hidràulics

T13. Tema 13. Establiment de diagnòstics en els sistemes hidràulics

T14. Tema 14. Funcionament d'equips hidràulics del vaixell

T15. Tema 15. Muntatge, conducció i manteniment d'equips hidràulics ampliats al vaixell

T16. Tema 16. Interpretació de sinòptics, diagrames de blocs i esquemes dels sistemes automàtics

T17. Tema 17. Dinàmica dels processos automàtics del vaixell

T18. Tema 18. Tècniques de regulació, reguladors industrials i tècniques d'ajustament dels paràmetres

T19. Tema 19. Captació d'informació: sensors, detectors, transductors i transmissors

T2. Tema 2. Procediments per a la determinació del balanç elèctric

Llengua catalana i literatura (71 temas · mostrando 12)

T1. T1. Teoria de la comunicació i els elements que la constitueixen. Funcions del llenguatge i el signe lingüístic

T10. T10. El discurs de la llengua. Propietats textuals: adequació, coherència i cohesió. La puntuació

T11. T11. L'enunciació. Modalitats oracionals. L'acte de parla

T12. T12. Text, discurs i context. La intertextualitat

T13. T13. Tipologia de textos I: textos narratius i descriptius

T14. T14. Tipologia de textos II: textos expositius i argumentatius

T15. T15. Tipologia de textos III: textos instructius i predictius

T16. T16. La comunicació oral. Elements paralingüístics

T17. T17. La comunicació escrita. Lectura i escriptura

T18. T18. El sistema vocàlic del català

T19. El verb: morfologia i perífrasis

T2. T2. Sistemes de comunicació lingüístics i no lingüístics. Definició i anàlisi dels llenguatges en diferents mitjans de comunicació

Llengua castellana i literatura (71 temas · mostrando 12)

T1. T1. Lenguaje y comunicación. Competencia lingüística y comunicativa

T10. T10. La lengua como sistema. La norma lingüística

T11. T11. Fonética y fonología. El sistema fonológico del español

T12. T12. La estructura de la palabra. Flexión, derivación y composición

T13. T13. Relaciones semánticas entre las palabras

T14. T14. El sintagma nominal. Estructura y funciones

T15. T15. El sintagma verbal. Estructura y funciones del verbo

T16. T16. La literatura infantil y juvenil. Características, géneros y autores más significativos

T17. T17. La creatividad y la literatura. Actividades y estrategias para fomentar la creatividad literaria en el aula

T18. T18. El proceso de enseñanza y aprendizaje de la lectura. Métodos, estrategias y técnicas

T19. T19. El proceso de enseñanza y aprendizaje de la escritura. Métodos, estrategias y etapas

T2. T2. Teorías lingüísticas actuales

Matemàtiques (71 temas · mostrando 12)

T1. Nombres naturals. Sistemes de numeració

T10. Anells i Cossos. Construcció dels Nombres Reals i Complexos

T11. Espais vectorials. Propietats i estructures

T12. Aplicacions lineals. Espai dual

T13. Matrius. Aplicacions

T14. Determinants. Propietats i aplicacions

T15. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Discussió de sistemes

T16. Espais mètrics. Propietats

T17. Espais topològics. Propietats

T18. Funcions reals d'una variable real. Límits

T19. Continuïtat de funcions d'una variable real

T2. Fonaments i evolució històrica de la geometria euclidiana

Otros temas (2 temas)

T1. Tema 1. Nomenclatura Náutica

T1. Tema 1. La Constitució Espanyola de 1978

Explora más oposiciones

Por especialidad

Por comunidad autónoma