📋 RESUM: Sistemes d'equacions lineals
• **Formulació:** $Ax = b$. Matriu ampliada $(A|b)$
• **Teorema de Rouché-Frobenius:** Compatible ⟺ rang(A) = rang(A|b). Si r = n: determinat. Si r < n: indeterminat amb n-r graus de llibertat
• **Sistemes homogenis ($b=0$):** Sempre compatibles. Solucions no trivials si rang(A) < n
• **Mètodes de resolució:**
- Gauss: escalonament + substitució regressiva
- Gauss-Jordan: forma escalonada reduïda
- Cramer: $x_j = \det(A_j)/\det(A)$ (només n×n determinats)
- Inversa: $x = A^{-1}b$
• **Estructura de solucions:** $x = x_p + x_h$ (particular + homogènia)
• **Interpretació geomètrica:** 2D = rectes, 3D = plans
• **Mínims quadrats:** Per sistemes incompatibles, minimitzar $\|Ax-b\|^2$: $(A^TA)\hat{x} = A^Tb$
Desarrollo del tema
# RESOLUCIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS. DISCUSSIÓ DE SISTEMES
## 1. Introducció
Els **sistemes d'equacions lineals** són omnipresents en matemàtiques i les seves aplicacions: enginyeria, economia, física, informàtica. La seva resolució sistemàtica mitjançant mètodes matricials és una de les fites de l'àlgebra lineal, amb el **teorema de Rouché-Frobenius** com a eina central per a la discussió.
on:
- $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n}$ és la **matriu de coeficients**
- $x = (x_1, \ldots, x_n)^T$ és el **vector d'incògnites**
- $b = (b_1, \ldots, b_m)^T$ és el **vector de termes independents**
- $(A|b) \in \mathcal{M}_{m \times (n+1)}$ és la **matriu ampliada**
- **Sistema homogeni:** $b = \vec{0}$ (termes independents tots zero)
- **Sistema no homogeni:** $b \neq \vec{0}$
- **Sistema compatible:** Té almenys una solució
- **Sistema incompatible:** No té cap solució
- **Sistema determinat:** Té solució única
- **Sistema indeterminat:** Té infinites solucions
## 3. Teorema de Rouché-Frobenius
**Teorema:** El sistema $Ax = b$ és **compatible** si i només si:
$$\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b)$$
A més, si el sistema és compatible amb $\text{rang}(A) = r$ i $n$ incògnites:
- Si $r = n$: sistema **compatible determinat** (solució única)
- Si $r < n$: sistema **compatible indeterminat** amb $\infty^{n-r}$ solucions (graus de llibertat = $n - r$)
### Interpretació
- El rang $r$ és el nombre d'equacions "realment independents"
- $n - r$ és el nombre de **paràmetres lliures** (incògnites que podem escollir arbitràriament)
## 4. Discussió de Sistemes
### 4.1 Sistemes homogenis ($Ax = 0$)
Sempre són compatibles (la solució trivial $x = \vec{0}$ sempre existeix).
- Si $\text{rang}(A) = n$: només solució trivial
- Si $\text{rang}(A) < n$: infinites solucions (subespai de dimensió $n - r$)
**Teorema:** Si $m < n$ (menys equacions que incògnites), el sistema homogeni té solucions no trivials.
### 4.2 Sistemes amb paràmetres
Quan els coeficients depenen d'un paràmetre $k$, cal **discutir** segons els valors de $k$:
**Exemple:** Discutir segons $k$: $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$
1. Calcular $\det(A)$ en funció de $k$
2. Si $\det(A) \neq 0$: compatible determinat
3. Si $\det(A) = 0$: estudiar rangs de $A$ i $(A|b)$ per a cada valor crític
## 5. Mètodes de Resolució
### 5.1 Mètode de Gauss (Eliminació)
Reduir la matriu ampliada a **forma escalonada** mitjançant operacions elementals:
Després, **substitució regressiva** des de l'última equació.
### 5.2 Mètode de Gauss-Jordan
Continuar l'escalonament fins a forma **escalonada reduïda** (pivots = 1, zeros a dalt i a baix de cada pivot). La solució es llegeix directament.
### 5.3 Regla de Cramer
Per a sistemes $n \times n$ amb $\det(A) \neq 0$:
$$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$
on $A_j$ és $A$ amb la columna $j$ substituïda per $b$.
**Limitacions:** Només per sistemes quadrats compatibles determinats. Cost computacional elevat.
### 5.4 Matriu inversa
Si $A$ és quadrada i invertible:
$$x = A^{-1} b$$
### 5.5 Factorització LU
Descompondre $A = LU$ on $L$ és triangular inferior i $U$ triangular superior. Llavors:
1. Resoldre $Ly = b$ (substitució progressiva)
2. Resoldre $Ux = y$ (substitució regressiva)
Útil quan cal resoldre $Ax = b$ per a diversos vectors $b$.
## 6. Estructura de les Solucions
### 6.1 Sistemes no homogenis
Si $x_p$ és una **solució particular** de $Ax = b$, llavors la **solució general** és:
$$x = x_p + x_h$$
on $x_h$ és la solució general del sistema homogeni associat $Ax = 0$.
**Geomètricament:** Les solucions formen una varietat lineal afí (subespai traslladat).
### 6.2 Espai de solucions del sistema homogeni
El conjunt de solucions de $Ax = 0$ és el **nucli** de la matriu $A$:
$$\ker(A) = \{x \in K^n : Ax = 0\}$$
És un **subespai vectorial** de $K^n$ amb dimensió $n - \text{rang}(A)$.
Una base d'aquest subespai es diu **sistema fonamental de solucions**.
## 7. Interpretació Geomètrica
### En $\mathbb{R}^2$ (2 incògnites)
Cada equació representa una **recta**:
- Sistema compatible determinat: les rectes es tallen en un punt
- Sistema compatible indeterminat: les rectes coincideixen
- Sistema incompatible: les rectes són paral·leles (no coincidents)
### En $\mathbb{R}^3$ (3 incògnites)
Cada equació representa un **pla**:
- 1 solució: els tres plans es tallen en un punt
- Recta de solucions: els tres plans es tallen en una recta
- Pla de solucions: els tres plans coincideixen
- Incompatible: configuracions sense punt comú (paral·lelismes, etc.)
## 8. Sistemes amb Infinites Solucions
Quan $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = r < n$:
1. **Identificar variables principals** (corresponents als pivots) i **variables lliures** (la resta)
2. Assignar paràmetres $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-r}$ a les variables lliures
3. Expressar les variables principals en funció dels paràmetres
**Exemple:** Del sistema escalonat:
$$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ y + z = 1 \end{cases}$$
Usa els valors $x_j^{(k+1)}$ tan bon punt estan disponibles:
$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$
**Convergència:** Garantida si $A$ és estrictament diagonal dominant ($|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$).
## 10. Sistemes Sobredeterminats i Mínims Quadrats
Quan $m > n$ (més equacions que incògnites) i el sistema és incompatible, es busca la **solució de mínims quadrats**: el vector $\hat{x}$ que minimitza $\|Ax - b\|^2$.
**Equacions normals:**
$$A^T A \hat{x} = A^T b$$
Si les columnes de $A$ són LI, $A^T A$ és invertible i:
$$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$$
**Aplicació:** Regressió lineal, ajust de dades.
## 11. Aplicacions
### 11.1 Circuits elèctrics (lleis de Kirchhoff)
Les equacions de malles i nusos formen sistemes lineals.
### 11.2 Estàtica (equilibri de forces)
$\sum \vec{F} = 0$ i $\sum \vec{M} = 0$ donen sistemes lineals per a les forces.
### 11.3 Economia (model de Leontief)
Producció de sectors interconnectats: $(I - A)x = d$
### 11.4 Ajust de dades
Interpolació polinòmica, regressió múltiple.
## 12. Aplicacions Didàctiques
### 12.1 ESO
- Sistemes 2×2: mètodes de substitució, igualació, reducció
- Interpretació gràfica: intersecció de rectes
### 12.2 Batxillerat
- Sistemes 3×3: mètode de Gauss
- Discussió amb paràmetres
- Regla de Cramer
## 13. Conclusions
El teorema de Rouché-Frobenius proporciona el criteri definitiu per a la compatibilitat de sistemes lineals. El mètode de Gauss és l'algoritme fonamental de resolució, mentre que Cramer és útil per a casos petits o teòrics. L'estructura afí de les solucions (particular + homogènia) és clau per entendre sistemes indeterminats.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
