T18. Funcions reals d'una variable real. Límits

Desarrollo del tema

# FUNCIONS REALS D'UNA VARIABLE REAL. LÍMITS

## 1. Introducció

L'estudi de les **funcions reals d'una variable real** $f: D\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ és el nucli de l'Anàlisi Matemàtica. El concepte de **límit** permet descriure el comportament d'una funció quan la variable s'apropa a un punt (finit o infinit), i és la base de la continuïtat, la derivació i la integració.

Històricament, el càlcul infinitesimal va néixer amb **Newton** i **Leibniz**. La formalització rigorosa (definicions $\varepsilon-\delta$) es va establir al segle XIX amb **Cauchy** i **Weierstrass**, resolent paradoxes i fent el càlcul robust.

## 2. Funcions reals d'una variable

### 2.1 Definició i elements bàsics

Una funció $f$ és una relació que assigna a cada $x\in D$ un únic valor $f(x)\in\mathbb{R}$. Elements principals:

- **Domini** $D$: conjunt on està definida. - **Imatge** $f(D)=\{f(x):x\in D\}$. - **Gràfica**: conjunt $\{(x,f(x)):x\in D\}\subseteq\mathbb{R}^2$.

### 2.2 Operacions i composició

Si $f,g$ són funcions:

- $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ - $(fg)(x)=f(x)g(x)$ - $(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ si $g(x)\neq 0$ - **Composició**: $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ quan té sentit.

### 2.3 Funcions elementals

- Polinòmiques, racionals - Exponencial $a^x$ i $e^x$ - Logaritme $\ln x$ - Trigonomètriques i inverses - Funció valor absolut $|x|$, part entera $\lfloor x\rfloor$

## 3. Límit d'una funció en un punt

### 3.1 Definició $\varepsilon-\delta$

Siguin $f: D\to\mathbb{R}$ i $a$ un punt d'acumulació de $D$. Diem que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ si:

$$\forall \varepsilon>0\,\exists \delta>0\,\text{tal que si }x\in D\text{ i }0<|x-a|<\delta,\text{ aleshores }|f(x)-L|<\varepsilon.$$

Observacions importants: - No cal que $f(a)$ estigui definida. - El límit descriu el comportament prop de $a$, no en $a$. - Si el límit existeix, és **únic**.

### 3.2 Límit lateral

- Límit per l'esquerra: $\lim_{x\to a^-} f(x)=L$ si la definició $\varepsilon-\delta$ es compleix amb $x<a$. - Límit per la dreta: $\lim_{x\to a^+} f(x)=L$ si es compleix amb $x>a$.

**Teorema:** $\lim_{x\to a} f(x)=L$ existeix si i només si existeixen els dos límits laterals i són iguals.

### 3.3 Límits infinits

Diguem $\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$ si: $$\forall M>0\,\exists \delta>0: 0<|x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>M.$$

Anàlogament per $-\infty$.

Interpretació: la funció creix sense límit quan $x$ s'apropa a $a$.

## 4. Límit quan $x\to\pm\infty$

### 4.1 Definició

Diguem $\lim_{x\to +\infty} f(x)=L$ si: $$\forall \varepsilon>0\,\exists A\,\text{tal que }x>A\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon.$$

Similarment per $x\to -\infty$.

### 4.2 Límits infinits a l'infinit

Diguem $\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ si: $$\forall M>0\,\exists A: x>A\Rightarrow f(x)>M.$$

## 5. Propietats dels límits

Suposem que $\lim_{x\to a} f(x)=L$ i $\lim_{x\to a} g(x)=M$. Llavors:

1. **Linealitat:** $$\lim_{x\to a} (\alpha f(x)+\beta g(x))=\alpha L+\beta M.$$ 2. **Producte:** $\lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM$. 3. **Quocient:** si $M\neq 0$, $$\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.$$ 4. **Potències i arrels:** si té sentit, $\lim f(x)^n=L^n$, $\lim \sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}$. 5. **Composició:** si $f(x)\to b$ i $g$ és contínua en $b$, llavors $g(f(x))\to g(b)$.

## 6. Teoremes fonamentals

### 6.1 Teorema del sandvitx (o del pont)

Si $h(x)\le f(x)\le k(x)$ prop de $a$ i $$\lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} k(x)=L,$$ llavors $\lim_{x\to a} f(x)=L$.

**Exemple clàssic:** $$\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1.$$ Es prova comparant $\sin x$ i $x$ geomètricament o amb desigualtats, i aplicant el sandvitx.

### 6.2 Comparació i límits

Si $0\le f(x)\le g(x)$ prop de $a$ i $\lim_{x\to a} g(x)=0$, llavors $\lim_{x\to a} f(x)=0$.

### 6.3 Caràcter local

El límit depèn només dels valors de $f$ en un entorn perforat de $a$. Si dues funcions coincideixen en un entorn perforat, tenen el mateix límit.

## 7. Indeterminacions i tècniques de càlcul

Sovint, l'aplicació directa de propietats dóna formes indeterminades:

- $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ - $\infty-\infty$ - $0\cdot\infty$ - $1^{\infty}$, $0^0$, $\infty^0$

### 7.1 Factorització i simplificació

Exemple: $$\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=4.$$

### 7.2 Racionalització

$$\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x}-1}{x} = \lim_{x\to 0}\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}= \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{2}.$$

### 7.3 Canvi de variable

Si $x\to a$ i posem $t=x-a$, llavors $t\to 0$ i sovint simplifica el límit.

### 7.4 Límits notables

1. $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.$$ 2. $$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}.$$ 3. $$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1.$$ 4. $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.$$ 5. $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e.$$

### 7.5 Comparació de creixements (a l'infinit)

Quan $x\to +\infty$: - $\ln x \ll x^\alpha \ll a^x$ per $\alpha>0$, $a>1$ - Els polinomis dominen els logaritmes, i les exponencials dominen els polinomis.

Per a racionals: $$\lim_{x\to\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} = \begin{cases} 0 & \deg P<\deg Q,\\ \frac{\text{coef. principal }P}{\text{coef. principal }Q} & \deg P=\deg Q,\\ \pm\infty & \deg P>\deg Q. \end{cases}$$

## 8. Asímptotes

### 8.1 Asímptota vertical

$x=a$ és asímptota vertical si $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$.

### 8.2 Asímptota horitzontal

$y=L$ és asímptota horitzontal si $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=L$.

### 8.3 Asímptota obliqua

$y=mx+n$ és asímptota obliqua si: $$\lim_{x\to\infty} \big(f(x)-(mx+n)\big)=0.$$

Es calcula: $$m=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\qquad n=\lim_{x\to\infty} (f(x)-mx),$$ si aquests límits existeixen.

## 9. Límits i successions

Els límits de funcions i de successions es relacionen. Una successió $(x_n)$ convergeix a $a$ si $|x_n-a|\to 0$. Sovint, per estudiar un límit, es prova el comportament sobre successions que tendeixen al punt.

**Criteri seqüencial (en \(\mathbb{R}\)):** $$\lim_{x\to a} f(x)=L \iff \text{per a tota successió }x_n\to a,\, x_n\neq a,\,\text{es té }f(x_n)\to L.$$

## 10. Errors freqüents i bones pràctiques

- Confondre "substituir" amb "calcular un límit": només és vàlid si la funció és contínua al punt. - Obviar el domini: cal mirar des d'on s'apropa $x$. - No justificar passos: en oposicions és important citar propietats (sandvitx, línies, racionalització...).

## 11. Conclusions

El límit és l'eina que formalitza la idea d'aproximació. Permet descriure discontinuïtats, asímptotes, creixement i és el punt de partida de la derivada. Dominar la definició $\varepsilon-\delta$, els teoremes fonamentals i les tècniques de càlcul és imprescindible per a un opositor.