Funcions reals d'una variable real. Límits

📋 RESUM: Funcions reals i límits • Una funció real d’una variable és $f: D\subseteq\mathbb{R}\to\mathbb{R}$. El límit descriu el valor al qual s’apropa $f(x)$ quan $x$ s’apropa a un punt $a$ (sense necessitat que $f(a)$ existeixi). • **Definició $\varepsilon-\delta$:** $\lim_{x\to a} f(x)=L$ si per a tot $\varepsilon>0$ existeix $\delta>0$ tal que $0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$. El límit és únic. • **Límits laterals:** el límit existeix si i només si existeixen $\lim_{x\to a^-}f(x)$ i $\lim_{x\to a^+}f(x)$ i coincideixen. • **Límits infinits i a l’infinit:** definicions anàlogues amb $M$ gran o amb $x>A$. Permeten estudiar asímptotes. • **Propietats:** linealitat, producte, quocient (si el denominador no tendeix a 0), potències i composició amb funcions contínues. • **Teoremes clau:** sandvitx (pont), caràcter local, criteri seqüencial (en $\mathbb{R}$). • **Indeterminacions:** $0/0$, $\infty/\infty$, $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$, etc. Tècniques: factoritzar, racionalitzar, canvis de variable i límits notables. • **Asímptotes:** vertical ($x=a$ si $f\to\pm\infty$), horitzontal ($y=L$ si $x\to\pm\infty$) i obliqua ($y=mx+n$).