Continuïtat de funcions d'una variable real

📋 RESUM: Continuïtat • **Definició:** f és contínua en a si $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ (equivalent a la condició $\varepsilon-\delta$). En extrems d’un interval tancat s’utilitza continuïtat unilateral. • **Discontinuïtats:** - Evitable: el límit existeix però f(a) no existeix o és diferent. - De salt: límits laterals finits però diferents. - Infinita: límit lateral és ±∞. - Essencial/oscil·latòria: no existeix límit per oscil·lació. • **Algebra:** suma, producte, quocient (si g(a)≠0) i composició conserven continuïtat. Polinomis sempre continus; racionals on el denominador no és zero. • **Teoremes clau en [a,b]:** - Bolzano: si f(a)f(b)<0, existeix c amb f(c)=0. - Valor intermedi: f pren tots els valors entre f(a) i f(b). - Weierstrass: en [a,b] f és acotada i assoleix màxim i mínim. • **Continuïtat uniforme:** un mateix δ funciona per a tots els punts. Heine–Cantor: continuïtat en compactes ⇒ uniformement contínua. • **Criteri seqüencial:** f és contínua en a ⟺ per a tota successió x_n→a, f(x_n)→f(a).