Derivació de funcions d'una variable real

📋 RESUM: Derivació • **Definició:** $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (si existeix). Geomètricament és el pendent de la tangent: $y=f(a)+f'(a)(x-a)$. • **Derivades laterals:** $f'_-(a)$ i $f'_+(a)$; f és derivable ⇔ existeixen i coincideixen. • **Derivable ⇒ contínua**, però no a l’inrevés (ex.: $|x|$ a 0). • **Regles:** linealitat, producte, quocient i cadena. Inversa: $(f^{-1})'(b)=1/f'(a)$ amb $b=f(a)$. • **Derivades bàsiques:** $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=1/x$, $(\sin x)'=\cos x$, etc. • **Teoremes:** - Rolle: si f(a)=f(b) i és contínua/derivable, existeix c amb f'(c)=0. - Valor mitjà (Lagrange): existeix c amb $f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$. • **Aplicacions:** signe de $f'$ → monotonia; punts crítics ($f'=0$ o no existeix) → candidats a extrems; criteri de la segona derivada per classificar. • **Convexitat:** $f''\ge 0$ (convexa), $f''\le 0$ (còncava). Punt d’inflexió si canvia la concavitat. • **Taylor:** $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ (aproximació lineal). Newton: $x_{n+1}=x_n-f(x_n)/f'(x_n)$.