Temario · Matemàtiques
OPOSGRATISOPOSGRATISTemario · Matemàtiques
📋 RESUM: Espais vectorials • **Definició:** Conjunt V amb suma i producte per escalars que satisfà 8 axiomes (4 de grup abelià per la suma, 2 del producte, 2 distributius) • **Exemples:** $\mathbb{R}^n$, polinomis $\mathbb{R}[x]_n$, matrius $\mathcal{M}_{m \times n}$, funcions contínues $\mathcal{C}[a,b]$ • **Subespais:** $W \subseteq V$ tancat per suma i producte escalar, amb $\vec{0} \in W$. Fórmula de Grassmann: $\dim(W_1 + W_2) = \dim W_1 + \dim W_2 - \dim(W_1 \cap W_2)$ • **Dependència lineal:** Vectors LD si existeix combinació lineal nul·la amb coeficients no tots zero • **Base:** Conjunt LI i generador. Tot vector s'escriu de forma única com a combinació lineal dels vectors de la base • **Dimensió:** Nombre d'elements de qualsevol base (invariant per Steinitz). $\dim(\mathbb{R}^n) = n$, $\dim(\mathbb{R}[x]_n) = n+1$ • **Canvi de base:** Matriu $P$ amb columnes = coordenades de la nova base en l'antiga. $[v]_B = P \cdot [v]_{B'}$ • **Espai quocient:** $V/W$ té dimensió $\dim V - \dim W$
# ESPAIS VECTORIALS. PROPIETATS I ESTRUCTURES
## 1. Introducció
Els **espais vectorials** constitueixen una de les estructures algebraiques més importants de les matemàtiques modernes. Generalitzen el concepte intuïtiu de vectors geomètrics a contextos molt més amplis, proporcionant un marc unificat per a l'estudi de sistemes lineals, transformacions geomètriques, equacions diferencials i moltes altres àrees.
El desenvolupament formal dels espais vectorials es deu principalment a **Giuseppe Peano** (1888) i **Hermann Grassmann**, tot i que les idees subjacents ja eren presents en treballs anteriors de **Hamilton** i **Cayley**.
## 2. Definició d'Espai Vectorial
Sigui $K$ un cos (com $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). Un **espai vectorial** sobre $K$ és un conjunt $V$ no buit dotat de dues operacions:
1. **Suma interna:** $+: V \times V \to V$, $(u, v) \mapsto u + v$ 2. **Producte per escalars:** $\cdot: K \times V \to V$, $(\lambda, v) \mapsto \lambda v$
que satisfan els **vuit axiomes** següents:
### Axiomes de la suma (estructura de grup abelià)
**(A1) Associativa:** $(u + v) + w = u + (v + w)$, per a tot $u, v, w \in V$
**(A2) Commutativa:** $u + v = v + u$, per a tot $u, v \in V$
**(A3) Element neutre:** Existeix $\vec{0} \in V$ tal que $v + \vec{0} = v$ per a tot $v \in V$
**(A4) Element oposat:** Per a tot $v \in V$, existeix $-v \in V$ tal que $v + (-v) = \vec{0}$
### Axiomes del producte per escalars
**(M1) Associativa mixta:** $\lambda(\mu v) = (\lambda \mu) v$, per a tot $\lambda, \mu \in K$, $v \in V$
**(M2) Element unitat:** $1 \cdot v = v$, per a tot $v \in V$ (on $1$ és la unitat de $K$)
### Axiomes distributius
**(D1)** $\lambda(u + v) = \lambda u + \lambda v$
**(D2)** $(\lambda + \mu)v = \lambda v + \mu v$
## 3. Exemples Fonamentals
### 3.1 L'espai $\mathbb{R}^n$
El conjunt $\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$ amb les operacions: - $(x_1, \ldots, x_n) + (y_1, \ldots, y_n) = (x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n)$ - $\lambda(x_1, \ldots, x_n) = (\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)$
és un espai vectorial real. El vector nul és $(0, 0, \ldots, 0)$.
### 3.2 L'espai de polinomis $\mathbb{R}[x]_n$
El conjunt de polinomis de grau menor o igual a $n$ amb coeficients reals: $$\mathbb{R}[x]_n = \{a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n : a_i \in \mathbb{R}\}$$
amb la suma i el producte per escalars habituals, és un espai vectorial.
### 3.3 L'espai de matrius $\mathcal{M}_{m \times n}(\mathbb{R})$
Les matrius $m \times n$ amb coeficients reals formen un espai vectorial amb la suma de matrius i el producte per escalars component a component.
### 3.4 L'espai de funcions contínues $\mathcal{C}[a,b]$
El conjunt de funcions contínues $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ amb les operacions $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ i $(\lambda f)(x) = \lambda f(x)$ és un espai vectorial de **dimensió infinita**.
## 4. Propietats Elementals
**Proposició:** En tot espai vectorial $V$ es compleix:
1. **Unicitat del vector nul:** El vector $\vec{0}$ és únic. 2. **Unicitat de l'oposat:** Per a cada $v \in V$, l'oposat $-v$ és únic. 3. $0 \cdot v = \vec{0}$ per a tot $v \in V$ (escalar zero per qualsevol vector dóna el vector nul). 4. $\lambda \cdot \vec{0} = \vec{0}$ per a tot $\lambda \in K$. 5. $(-1) \cdot v = -v$ per a tot $v \in V$. 6. **Llei de cancel·lació:** Si $\lambda v = \vec{0}$, llavors $\lambda = 0$ o $v = \vec{0}$.
*Demostració de (3):* $0 \cdot v = (0 + 0) \cdot v = 0 \cdot v + 0 \cdot v$. Sumant $-(0 \cdot v)$ a ambdós costats: $\vec{0} = 0 \cdot v$. ∎
## 5. Subespais Vectorials
Un subconjunt $W \subseteq V$ és un **subespai vectorial** de $V$ si $W$ és un espai vectorial amb les mateixes operacions de $V$.
### Teorema de caracterització
$W \subseteq V$ és subespai si i només si:
1. $W \neq \emptyset$ (o equivalentment, $\vec{0} \in W$) 2. $u, v \in W \Rightarrow u + v \in W$ (tancat per la suma) 3. $\lambda \in K, v \in W \Rightarrow \lambda v \in W$ (tancat per producte escalar)
Les condicions (2) i (3) es poden unificar: $W$ és subespai si $\vec{0} \in W$ i $\lambda u + \mu v \in W$ per a tot $\lambda, \mu \in K$ i $u, v \in W$.
### Exemples
- En $\mathbb{R}^3$: rectes i plans que passen per l'origen són subespais. - En $\mathbb{R}[x]_n$: els polinomis de grau $\leq k$ (amb $k \leq n$) formen un subespai. - En $\mathcal{M}_{n \times n}$: les matrius simètriques i les antisimètriques són subespais.
### Operacions amb subespais
**Intersecció:** Si $W_1, W_2$ són subespais de $V$, llavors $W_1 \cap W_2$ és subespai.
**Suma:** $W_1 + W_2 = \{w_1 + w_2 : w_1 \in W_1, w_2 \in W_2\}$ és subespai.
**Fórmula de Grassmann:** $$\dim(W_1 + W_2) = \dim(W_1) + \dim(W_2) - \dim(W_1 \cap W_2)$$
**Suma directa:** Escrivim $V = W_1 \oplus W_2$ si $V = W_1 + W_2$ i $W_1 \cap W_2 = \{\vec{0}\}$. En aquest cas, tot vector $v \in V$ s'escriu de manera **única** com $v = w_1 + w_2$.
## 6. Dependència i Independència Lineal
**Definició:** Una **combinació lineal** de vectors $v_1, \ldots, v_n \in V$ és qualsevol expressió: $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n, \quad \lambda_i \in K$$
**Definició:** Els vectors $v_1, \ldots, v_n$ són **linealment dependents** (LD) si existeixen escalars $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$, no tots nuls, tals que: $$\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \cdots + \lambda_n v_n = \vec{0}$$
Si l'única solució és $\lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0$, els vectors són **linealment independents** (LI).
### Propietats
1. Un conjunt que conté el vector $\vec{0}$ és sempre LD. 2. Un sol vector $v$ és LI si i només si $v \neq \vec{0}$. 3. Si $\{v_1, \ldots, v_n\}$ és LI i afegim un vector $v_{n+1}$, el nou conjunt és LD si i només si $v_{n+1}$ és combinació lineal dels anteriors.
## 7. Sistemes Generadors i Bases
**Definició:** Un conjunt $S = \{v_1, \ldots, v_n\}$ és un **sistema generador** de $V$ si tot vector de $V$ es pot escriure com a combinació lineal d'elements de $S$: $$V = \langle S \rangle = \langle v_1, \ldots, v_n \rangle$$
**Definició:** Una **base** de $V$ és un conjunt de vectors que és: - Linealment independent - Sistema generador de $V$
### Teorema fonamental
Sigui $B = \{e_1, \ldots, e_n\}$ una base de $V$. Llavors tot vector $v \in V$ s'escriu de manera **única** com: $$v = \lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2 + \cdots + \lambda_n e_n$$
Els escalars $(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$ s'anomenen **coordenades** de $v$ respecte la base $B$.
### Exemples de bases
- **Base canònica** de $\mathbb{R}^n$: $\{e_1 = (1,0,\ldots,0), e_2 = (0,1,\ldots,0), \ldots, e_n = (0,\ldots,0,1)\}$ - **Base canònica** de $\mathbb{R}[x]_n$: $\{1, x, x^2, \ldots, x^n\}$
## 8. Dimensió
**Teorema de Steinitz:** Si $V$ té una base finita, totes les bases de $V$ tenen el mateix nombre d'elements.
**Definició:** La **dimensió** de $V$, denotada $\dim(V)$, és el nombre d'elements de qualsevol base de $V$.
### Resultats fonamentals
1. $\dim(\mathbb{R}^n) = n$ 2. $\dim(\mathbb{R}[x]_n) = n + 1$ 3. $\dim(\mathcal{M}_{m \times n}) = m \cdot n$ 4. Si $\dim(V) = n$: - Tot conjunt LI té com a màxim $n$ vectors - Tot sistema generador té com a mínim $n$ vectors - Un conjunt de $n$ vectors LI és automàticament base - Un conjunt de $n$ vectors generador és automàticament base
## 9. Coordenades i Canvi de Base
Siguin $B = \{e_1, \ldots, e_n\}$ i $B' = \{e'_1, \ldots, e'_n\}$ dues bases de $V$.
La **matriu de canvi de base** $P_{B \to B'}$ té per columnes les coordenades dels vectors de $B'$ expressats en la base $B$: $$P = \begin{pmatrix} [e'_1]_B & [e'_2]_B & \cdots & [e'_n]_B \end{pmatrix}$$
Si $[v]_B$ i $[v]_{B'}$ són les coordenades de $v$ en cada base: $$[v]_B = P \cdot [v]_{B'}$$
La matriu inversa $P^{-1}$ permet el canvi en sentit contrari.
## 10. Espais Quocient
Sigui $W$ un subespai de $V$. Definim la relació d'equivalència: $$u \sim v \Leftrightarrow u - v \in W$$
L'**espai quocient** $V/W$ és el conjunt de classes d'equivalència $[v] = v + W$ amb les operacions: - $[u] + [v] = [u + v]$ - $\lambda[v] = [\lambda v]$
**Teorema:** $\dim(V/W) = \dim(V) - \dim(W)$
## 11. Aplicacions Didàctiques
### 11.1 Batxillerat
- **Vectors geomètrics:** Relacionar $\mathbb{R}^2$ i $\mathbb{R}^3$ amb vectors posició, desplaçaments - **Dependència lineal:** Interpretar geomètricament (colinealitat, coplanarietat) - **GeoGebra:** Visualitzar combinacions lineals, subespais
### 11.2 Universitat
- **Abstracció progressiva:** Passar de $\mathbb{R}^n$ a espais funcionals - **Demostracions rigoroses:** Treballar els axiomes i teoremes - **Connexions:** Vincular amb àlgebra lineal numèrica i aplicacions
## 12. Conclusions
Els espais vectorials proporcionen el llenguatge i les eines per a l'estudi de la linealitat. La noció de base i dimensió permet classificar completament els espais vectorials de dimensió finita sobre un cos donat: dos espais són isomorfs si i només si tenen la mateixa dimensió.
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.