📋 RESUM: Nombres naturals i sistemes de numeració
• Axiomes de Peano: 5 axiomes que defineixen ℕ (zero, successor, injectivitat, inducció)
• Sistemes posicionals: valor = Σ dᵢ·bⁱ (decimal, binari, hexadecimal)
• Sistemes no posicionals: romà (additiu/sostrastiu)
• Conversions: divisions successives (10→b), polinomi (b→10)
• Operacions: clausura, associativa, commutativa, distributiva
• Inducció: pas base + pas inductiu per demostrar ∀n∈ℕ
• Història: egipcis, babilonis (base 60), maies (base 20), hindú-àrab (zero!)
Desarrollo del tema
# NOMBRES NATURALS. SISTEMES DE NUMERACIÓ
## 1. Introducció
El concepte de nombre és una de les abstraccions més fonamentals del pensament humà. Els **nombres naturals**, designats pel símbol $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$, constitueixen el pilar sobre el qual es construeix tota l'aritmètica. Són l'eina inicial per comptar, ordenar i quantificar el món que ens envolta.
En aquest tema explorarem la naturalesa dels nombres naturals des d'una perspectiva axiomàtica rigorosa, analitzarem els diferents sistemes de numeració històrics i actuals, estudiarem les operacions fonamentals i introduirem el principi d'inducció matemàtica.
## 2. Definició Axiomàtica: Els Axiomes de Peano
Per donar una base lògica sòlida al conjunt dels nombres naturals, el matemàtic italià **Giuseppe Peano** (1858-1932) va proposar el 1889 un sistema axiomàtic que defineix $\mathbb{N}$ a partir de conceptes primitius: "nombre", "zero" i la funció "successor".
Considerem el conjunt $\mathbb{N}$, un element $0 \in \mathbb{N}$ i una funció successor $S: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$.
**Axioma 1:** El zero és un nombre natural: $0 \in \mathbb{N}$.
**Axioma 2:** Tot nombre natural té un successor: Per a tot $n \in \mathbb{N}$, existeix un únic $S(n) \in \mathbb{N}$.
**Axioma 3:** El zero no és el successor de cap nombre natural: Per a tot $n \in \mathbb{N}$, $S(n) \neq 0$.
**Axioma 4:** La funció successor és injectiva: Si $m, n \in \mathbb{N}$ i $m \neq n$, llavors $S(m) \neq S(n)$.
**Axioma 5 (Principi d'Inducció):** Si un subconjunt $K \subseteq \mathbb{N}$ compleix:
- $0 \in K$
- Per a tot $k \in K$, el seu successor $S(k)$ també pertany a $K$
Llavors $K = \mathbb{N}$.
### Definició recursiva de les operacions
A partir dels axiomes de Peano, es defineixen recursivament l'addició i la multiplicació:
Un **sistema de numeració** és un conjunt de símbols i regles que permeten representar tots els nombres. Es classifiquen en **posicionals** i **no posicionals**.
### 3.1 Sistemes No Posicionals
El valor d'un símbol és fix i no depèn de la seva posició. El resultat s'obté sumant (o restant) els valors.
*Regles:*
- **Additiva:** Un símbol a la dreta d'un altre d'igual o major valor, suma. Ex: $XI = 10 + 1 = 11$
- **Sostractiva:** I, X, C a l'esquerra d'un símbol major (dels dos següents) resten. Ex: $IV = 5 - 1 = 4$
### 3.2 Sistemes Posicionals
El valor d'un dígit depèn del símbol i de la seva posició. Tot sistema posicional té una **base** $b$, que és el nombre de dígits únics.
Un nombre $N$ representat en base $b$ com $(d_n d_{n-1} \ldots d_1 d_0)_b$ té valor:
S'utilitza el mètode de **divisions successives**: es divideix pel nombre de la nova base repetidament, els residus (llegits en ordre invers) formen el nombre.
Com que $16 = 2^4$, cada dígit hexadecimal correspon a 4 bits:
- **Binari → Hexadecimal:** Agrupar bits de 4 en 4 (de dreta a esquerra). Ex: $1110101101_2 = 0011|1010|1101 = 3AD_{16}$
- **Hexadecimal → Binari:** Substituir cada dígit hex pel seu quartet binari. Ex: $5F2_{16} = 0101|1111|0010 = 10111110010_2$
## 5. Operacions amb Naturals i Propietats
El conjunt $(\mathbb{N}, +, \cdot)$ satisfà les propietats següents:
| Propietat | Addició | Multiplicació |
|-----------|---------|---------------|
| Clausura | $a + b \in \mathbb{N}$ | $a \cdot b \in \mathbb{N}$ |
| Associativa | $(a+b)+c = a+(b+c)$ | $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ |
| Commutativa | $a+b = b+a$ | $a \cdot b = b \cdot a$ |
| Element neutre | $a + 0 = a$ | $a \cdot 1 = a$ |
**Propietat distributiva:** $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
**Nota:** La sostracció i la divisió NO són operacions internes a $\mathbb{N}$ (no sempre donen resultat natural).
## 6. El Principi d'Inducció Matemàtica
Basat en el cinquè axioma de Peano, serveix per demostrar que una propietat $P(n)$ és vàlida per a tots els naturals a partir d'un valor inicial $n_0$.
**Estructura:**
1. **Pas base:** Demostrar que $P(n_0)$ és certa.
2. **Pas inductiu:** Suposant que $P(k)$ és certa (hipòtesi d'inducció), demostrar que $P(k+1)$ també ho és.
**Exemple clàssic:** Demostrar que $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$
*Pas base ($n=1$):* $\sum_{i=1}^{1} i = 1 = \frac{1 \cdot 2}{2} = 1$ ✓
*Pas inductiu:* Suposem cert per $k$: $\sum_{i=1}^{k} i = \frac{k(k+1)}{2}$
Provem per $k+1$:
$$\sum_{i=1}^{k+1} i = \sum_{i=1}^{k} i + (k+1) = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$$
Que és exactament la fórmula per a $n = k+1$. ∎
## 7. Història dels Sistemes de Numeració
### 7.1 Civilitzacions antigues
**Egipcis (3000 a.C.):** Sistema additiu de base 10 amb jeroglífics. Cada potència de 10 tenia un símbol diferent (bastó=1, ferradura=10, espiral=100, flor de lotus=1000).
**Babilonis (2000 a.C.):** Sistema **sexagesimal** (base 60) posicional amb només dos símbols cuneïformes. Herència actual: 60 minuts, 60 segons, 360°.
**Maies (250 a.C.):** Sistema **vigesimal** (base 20) posicional. Una de les primeres cultures en usar el **zero** com a símbol.
**Grecs:** Sistema alfabètic (cada lletra tenia valor numèric).
### 7.2 El sistema hindú-àrab
Va sorgir a l'**Índia** (s. V-VI d.C.) amb dues innovacions revolucionàries:
1. Sistema posicional de **base 10**
2. Símbol per al **zero**
Els matemàtics àrabs, especialment **Al-Khwarizmi** (s. IX), el van adoptar i perfeccionar. **Fibonacci** el va introduir a Europa el 1202 amb el seu *Liber Abaci*.
## 8. Aplicacions Didàctiques
### 8.1 ESO
- **Materials manipulatius:** Àbacs, blocs multibase per visualitzar el valor posicional
- **Projectes històrics:** Investigar sistemes egipci, romà o maia; intentar operar amb numerals romans per entendre les limitacions
- **Informàtica:** Introduir el binari com "l'idioma dels ordinadors" (interruptors on/off)
- **Jocs:** Endevinar nombres en binari, convertir l'edat a hexadecimal
### 8.2 Batxillerat
- **Demostracions per inducció:** Fórmules de sumatoris, desigualtats, divisibilitat
- **Axiomàtica:** Discussió sobre què significa "definir" matemàticament
- **Ampliació:** Representació de fraccions en diferents bases, periodicitat
## 9. Conclusions
Els nombres naturals, tot i semblar intuïtius, requereixen una fonamentació rigorosa que proporcionen els axiomes de Peano. Els sistemes de numeració posicionals, especialment el decimal, van representar un avenç enorme per a la humanitat en permetre càlculs eficients. El principi d'inducció és l'eina fonamental per demostrar propietats sobre $\mathbb{N}$.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
