📋 RESUM: Espais de Hilbert
• Producte escalar ⟨·,·⟩ ⇒ norma ‖x‖=√⟨x,x⟩, distància i geometria (ortogonalitat).
• Cauchy–Schwarz: |⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖.
• Hilbert: espai amb producte escalar complet en la norma.
• Exemples: ℝⁿ, ℓ², L²[a,b].
• Complement ortogonal: M^⊥={x:⟨x,m⟩=0}. Si M tancat, H=M⊕M^⊥.
• Teorema de projecció: per M tancat, existeix únic P_Mx∈M que minimitza ‖x-y‖; x-P_Mx∈M^⊥.
• BON: (e_n) ortonormal i densa ⇒ x=Σ⟨x,e_n⟩e_n (en norma).
• Parseval: ‖x‖²=Σ|⟨x,e_n⟩|²; Bessel: Σ|⟨x,e_n⟩|²≤‖x‖².
• Gram–Schmidt: ortonormalitza una família independent.
• Operadors acotats, adjunt T*, autoadjunts i unitaris.
• Riesz: tot funcional continu φ s’escriu com φ(x)=⟨x,y⟩.
• Aplicacions: Fourier com projecció en L², mínims quadrats, formulacions variacionals i quàntica.
Desarrollo del tema
# ESPAIS DE HILBERT. APLICACIONS
## 1. Introducció
Un **espai de Hilbert** és un espai vectorial amb producte escalar complet respecte la norma induïda. Generalitza l’espai euclidià a dimensions infinites i proporciona el marc natural de l’anàlisi funcional, les sèries de Fourier, la teoria espectral i la mecànica quàntica.
El punt clau és la combinació de:
- estructura algebraica (espai vectorial)
- estructura geomètrica (producte escalar, ortogonalitat)
- propietat topològica (completesa)
## 2. Producte escalar i norma
Sigui $H$ un espai vectorial real o complex. Un **producte escalar** és una aplicació $\langle\cdot,\cdot\rangle:H\times H\to\mathbb{K}$ ($\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) que satisfà:
1. Linealitat en el primer argument (i antilinealitat en el segon en el cas complex, segons convenció)
2. Simetria hermítica: $\langle x,y\rangle=\overline{\langle y,x\rangle}$
3. Definit positiu: $\langle x,x\rangle\ge0$ i $=0$ només si $x=0$
En dimensió finita, aquests conceptes generalitzen matrius simètriques, ortogonals/unitàries, etc.
## 8. Teorema de representació de Riesz
**Riesz (Hilbert):** Tot funcional lineal continu $\varphi\in H^*$ es pot escriure de forma única com:
$$\varphi(x)=\langle x, y\rangle$$
per a un únic $y\in H$. A més, $\|\varphi\|=\|y\|$.
Interpretació: el dual d’un Hilbert s’identifica amb ell mateix.
## 9. Aplicacions
### 9.1 Fourier i $L^2$
En $L^2[-\pi,\pi]$, la família $\{1/\sqrt{2\pi}, \cos(nx)/\sqrt{\pi}, \sin(nx)/\sqrt{\pi}\}$ és ortonormal i dona expansions de Fourier com projeccions sobre subespais trigonomètrics.
La convergència en $L^2$ s’interpreta com:
$$S_N f=P_{M_N}f,$$
on $M_N$ és el subespai generat pels primers harmònics.
### 9.2 Aproximació de mínims quadrats
Donat un conjunt de vectors $v_1,\dots,v_k$ (models), aproximar $x$ per una combinació lineal minimitzant l’error és un problema de projecció en un subespai. Això explica el mètode de **mínims quadrats** i les equacions normals.
### 9.3 Problemes variacionals
Molts problemes es formulen com minimitzar una energia $J(u)$ en un espai de Hilbert. L’òptim satisfà una condició d’ortogonalitat (derivada de Gâteaux) i sovint condueix a una EDP en forma feble.
### 9.4 Mecànica quàntica (esbós)
L’estat d’un sistema es descriu com un vector d’un Hilbert (p. ex. $L^2(\mathbb{R}^3)$) i els observables com operadors autoadjunts. L’ortogonalitat i la descomposició espectral expliquen mesura i superposició.
## 10. Conclusions
Els espais de Hilbert generalitzen la geometria euclidiana a contextos infinidimensionals. La completitud garanteix l’existència de límits i de millors aproximacions (teorema de projecció). Les bases ortonormals permeten expansions i identitats d’energia (Parseval). El teorema de Riesz connecta vectors i funcionals. Aquest marc unifica Fourier, mínims quadrats i la formulació moderna de molts problemes d’anàlisi i física.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
