T32. Transformades de Laplace i aplicacions

Desarrollo del tema

# TRANSFORMADES DE LAPLACE I APLICACIONS

## 1. Introducció

La **transformada de Laplace** és una eina matemàtica fonamental que converteix funcions del domini temporal en funcions del domini de la freqüència complexa. Aquesta transformació converteix equacions diferencials en equacions algebraiques, simplificant enormement la seva resolució.

Desenvolupada per **Pierre-Simon Laplace** (1749-1827), aquesta tècnica és indispensable en enginyeria elèctrica, teoria de control, processament de senyals i física matemàtica.

## 2. Definició de la Transformada de Laplace

### 2.1 Transformada Directa

Sigui $f: [0, \infty) \to \mathbb{R}$ una funció. La seva **transformada de Laplace** és: $$\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_0^{\infty} f(t)e^{-st}\,dt$$

on $s = \sigma + i\omega$ és una variable complexa.

**Condicions d'existència:** La integral convergeix si: 1. $f$ és contínua a trossos en $[0, \infty)$ 2. $f$ és d'ordre exponencial: $|f(t)| \leq Me^{at}$ per a certes constants $M, a$

L'**abscissa de convergència** $\sigma_0$ és el valor mínim de $\sigma$ per al qual la integral convergeix.

### 2.2 Transformada Inversa

La **transformada inversa** recupera $f(t)$ a partir de $F(s)$: $$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\gamma-i\infty}^{\gamma+i\infty} F(s)e^{st}\,ds$$

on $\gamma > \sigma_0$. Aquesta és la **integral de Bromwich**.

## 3. Transformades de Funcions Elementals

### 3.1 Taula de Transformades Bàsiques

| $f(t)$ | $F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}$ | Condició | |--------|------------------------------|----------| | $1$ | $\dfrac{1}{s}$ | $s > 0$ | | $t^n$ | $\dfrac{n!}{s^{n+1}}$ | $s > 0$ | | $e^{at}$ | $\dfrac{1}{s-a}$ | $s > a$ | | $\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{s^2+\omega^2}$ | $s > 0$ | | $\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s}{s^2+\omega^2}$ | $s > 0$ | | $\sinh(at)$ | $\dfrac{a}{s^2-a^2}$ | $s > |a|$ | | $\cosh(at)$ | $\dfrac{s}{s^2-a^2}$ | $s > |a|$ | | $t^n e^{at}$ | $\dfrac{n!}{(s-a)^{n+1}}$ | $s > a$ | | $e^{at}\sin(\omega t)$ | $\dfrac{\omega}{(s-a)^2+\omega^2}$ | $s > a$ | | $e^{at}\cos(\omega t)$ | $\dfrac{s-a}{(s-a)^2+\omega^2}$ | $s > a$ |

### 3.2 Càlcul de Transformades

**Exemple 1:** $\mathcal{L}\{e^{2t}\}$ $$\int_0^{\infty} e^{2t}e^{-st}\,dt = \int_0^{\infty} e^{-(s-2)t}\,dt = \left[-\frac{e^{-(s-2)t}}{s-2}\right]_0^{\infty} = \frac{1}{s-2}, \quad s > 2$$

**Exemple 2:** $\mathcal{L}\{t^2\}$ $$\int_0^{\infty} t^2 e^{-st}\,dt = \frac{2!}{s^3} = \frac{2}{s^3}, \quad s > 0$$

## 4. Propietats de la Transformada de Laplace

### 4.1 Linealitat

$$\mathcal{L}\{af(t) + bg(t)\} = aF(s) + bG(s)$$

### 4.2 Primer Teorema de Translació (en s)

$$\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$$

**Exemple:** $\mathcal{L}\{e^{3t}\cos(2t)\} = \dfrac{s-3}{(s-3)^2+4}$

### 4.3 Segon Teorema de Translació (en t)

Sigui $u(t-a)$ la funció graó unitari (funció de Heaviside): $$u(t-a) = \begin{cases} 0 & t < a \\ 1 & t \geq a \end{cases}$$

Llavors: $$\mathcal{L}\{f(t-a)u(t-a)\} = e^{-as}F(s)$$ $$\mathcal{L}\{u(t-a)\} = \frac{e^{-as}}{s}$$

### 4.4 Transformada de Derivades

$$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$$ $$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)$$ $$\mathcal{L}\{f^{(n)}(t)\} = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) - s^{n-2}f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)$$

Aquesta propietat és la clau per resoldre EDOs: les derivades es transformen en multiplicacions per $s$.

### 4.5 Transformada d'Integrals

$$\mathcal{L}\left\{\int_0^t f(\tau)\,d\tau\right\} = \frac{F(s)}{s}$$

### 4.6 Derivació i Integració en s

$$\mathcal{L}\{tf(t)\} = -F'(s)$$ $$\mathcal{L}\{t^n f(t)\} = (-1)^n F^{(n)}(s)$$ $$\mathcal{L}\left\{\frac{f(t)}{t}\right\} = \int_s^{\infty} F(\sigma)\,d\sigma$$

### 4.7 Convolució

La **convolució** de $f$ i $g$ és: $$(f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$$

**Teorema de convolució:** $$\mathcal{L}\{f * g\} = F(s) \cdot G(s)$$

### 4.8 Valor Inicial i Final

**Teorema del valor inicial:** $$\lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{s \to \infty} sF(s)$$

**Teorema del valor final:** $$\lim_{t \to \infty} f(t) = \lim_{s \to 0} sF(s)$$ (si el límit existeix i tots els pols de $sF(s)$ tenen part real negativa)

## 5. Funció Delta de Dirac

La **delta de Dirac** $\delta(t)$ és una "funció" generalitzada (distribució) que satisfà: $$\delta(t) = 0 \text{ per } t \neq 0, \quad \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt = 1$$

**Propietat de mostreig:** $$\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\delta(t-a)\,dt = f(a)$$

**Transformada de Laplace:** $$\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$$ $$\mathcal{L}\{\delta(t-a)\} = e^{-as}$$

## 6. Transformada Inversa per Fraccions Parcials

### 6.1 Mètode General

Per trobar $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}$ on $F(s) = P(s)/Q(s)$ és racional:

1. Descomposar $F(s)$ en fraccions parcials 2. Aplicar la taula de transformades inverses

### 6.2 Casos segons les arrels de Q(s)

**Arrels reals simples:** Si $Q(s) = (s-a_1)(s-a_2)\cdots$: $$\frac{P(s)}{Q(s)} = \frac{A_1}{s-a_1} + \frac{A_2}{s-a_2} + \cdots$$ on $A_k = \lim_{s\to a_k}(s-a_k)F(s)$

**Arrels reals repetides:** Si $(s-a)^n$ és factor: $$\frac{A_1}{s-a} + \frac{A_2}{(s-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(s-a)^n}$$

**Arrels complexes conjugades:** Si $s^2 + bs + c$ és factor irreductible: $$\frac{As + B}{s^2 + bs + c} \to \text{completar quadrats}$$

**Exemple:** Trobar $\mathcal{L}^{-1}\left\{\dfrac{s+3}{(s-1)(s+2)}\right\}$

Descomposició: $\dfrac{s+3}{(s-1)(s+2)} = \dfrac{A}{s-1} + \dfrac{B}{s+2}$

$A = \dfrac{1+3}{1+2} = \dfrac{4}{3}$, $B = \dfrac{-2+3}{-2-1} = -\dfrac{1}{3}$

$f(t) = \dfrac{4}{3}e^t - \dfrac{1}{3}e^{-2t}$

## 7. Resolució d'Equacions Diferencials

### 7.1 Metodologia

1. Aplicar $\mathcal{L}$ a l'EDO usant les condicions inicials 2. Resoldre l'equació algebraica per $Y(s) = \mathcal{L}\{y(t)\}$ 3. Aplicar $\mathcal{L}^{-1}$ per obtenir $y(t)$

### 7.2 Exemple: EDO de Segon Ordre

Resoldre: $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, amb $y(0) = 1$, $y'(0) = 0$

**Pas 1:** Aplicar $\mathcal{L}$: $$s^2Y - sy(0) - y'(0) + 3(sY - y(0)) + 2Y = \frac{1}{s+1}$$ $$s^2Y - s + 3sY - 3 + 2Y = \frac{1}{s+1}$$ $$(s^2 + 3s + 2)Y = s + 3 + \frac{1}{s+1}$$

**Pas 2:** Aïllar $Y(s)$: $$Y(s) = \frac{s+3}{(s+1)(s+2)} + \frac{1}{(s+1)^2(s+2)}$$

**Pas 3:** Fraccions parcials i inversió: $$Y(s) = \frac{2}{s+1} - \frac{1}{s+2} + \frac{1}{(s+1)^2} - \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2}$$ $$Y(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{(s+1)^2}$$

$$y(t) = e^{-t} + te^{-t} = (1+t)e^{-t}$$

### 7.3 Sistemes d'EDOs

Per a sistemes $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$, s'aplica Laplace component a component i es resol el sistema algebraic resultant.

## 8. Funció de Transferència

### 8.1 Definició

En teoria de control, la **funció de transferència** d'un sistema lineal és: $$H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}$$

on $X(s)$ és l'entrada i $Y(s)$ la sortida (amb condicions inicials nul·les).

### 8.2 Resposta Impulsional

La resposta a un impuls $\delta(t)$ és $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}$.

La sortida general és la convolució: $y(t) = (h * x)(t)$

### 8.3 Estabilitat

Un sistema és **estable** si tots els pols de $H(s)$ tenen part real negativa (estan al semiplà esquerre).

## 9. Altres Aplicacions

### 9.1 Equacions Integrals

La transformada de Laplace converteix equacions integrals de Volterra en equacions algebraiques.

**Exemple:** Resoldre $y(t) + \int_0^t y(\tau)(t-\tau)\,d\tau = t$

Aplicant Laplace: $Y(s) + Y(s) \cdot \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{1}{s^2}$

$Y(s)\left(1 + \dfrac{1}{s^2}\right) = \dfrac{1}{s^2} \Rightarrow Y(s) = \dfrac{1}{s^2+1}$

$y(t) = \sin t$

### 9.2 Circuits Elèctrics

En circuits RLC, les equacions diferencials es transformen en impedàncies: - Resistència: $Z_R = R$ - Inductància: $Z_L = sL$ - Capacitància: $Z_C = \dfrac{1}{sC}$

### 9.3 Sistemes Mecànics

Masses, molles i amortidors es modelen amb EDOs que es resolen eficientment amb Laplace.

## 10. Relació amb Altres Transformades

### 10.1 Transformada de Fourier

La transformada de Fourier és un cas particular amb $s = i\omega$: $$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(i\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

Laplace és més general (permet convergència amb part real positiva) però Fourier és bilateral.

### 10.2 Transformada Z

Per a senyals discrets, la transformada Z és l'anàleg discret de Laplace: $$Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n]z^{-n}$$

## 11. Conclusions

La transformada de Laplace és una eina algebraica potent que simplifica la resolució d'equacions diferencials lineals, transforma convolucions en productes i permet analitzar sistemes dinàmics mitjançant funcions de transferència. És fonamental en enginyeria i física per modelar i controlar sistemes.