T34. Geometria mètrica. Espai euclidià

Desarrollo del tema

# GEOMETRIA MÈTRICA. ESPAI EUCLIDIÀ

## 1. Introducció

La **geometria mètrica** o **geometria euclidiana** afegeix a l'estructura afí els conceptes de distància i angle mitjançant el **producte escalar**. Això permet mesurar longituds, àrees, volums, angles i definir perpendicularitat.

L'espai euclidià és el marc matemàtic que formalitza la geometria clàssica d'Euclides i té aplicacions fonamentals en física, enginyeria i gràfics per computador.

## 2. Producte Escalar

### 2.1 Definició

Un **producte escalar** (o producte interior) en un espai vectorial real $V$ és una aplicació $\langle \cdot, \cdot \rangle: V \times V \to \mathbb{R}$ que satisfà:

1. **Simetria:** $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \langle \vec{v}, \vec{u} \rangle$ 2. **Linealitat:** $\langle \alpha\vec{u} + \beta\vec{w}, \vec{v} \rangle = \alpha\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle + \beta\langle \vec{w}, \vec{v} \rangle$ 3. **Definit positiu:** $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle \geq 0$ i $\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{0}$

Un espai vectorial amb producte escalar es diu **espai prehilbertià** o **espai amb producte interior**.

### 2.2 Producte Escalar Canònic

En $\mathbb{R}^n$, el producte escalar **canònic** (o estàndard) és: $$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n$$

### 2.3 Matriu de Gram

Donada una base $\mathcal{B} = \{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$, la **matriu de Gram** és: $$G = (g_{ij}) \quad \text{on} \quad g_{ij} = \langle \vec{e}_i, \vec{e}_j \rangle$$

El producte escalar en coordenades és: $$\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = X_u^T G X_v$$

on $X_u, X_v$ són les coordenades de $\vec{u}, \vec{v}$ en $\mathcal{B}$.

### 2.4 Base Ortonormal

Una base és **ortogonal** si $\langle \vec{e}_i, \vec{e}_j \rangle = 0$ per $i \neq j$.

Una base és **ortonormal** si és ortogonal i $\|\vec{e}_i\| = 1$ per a tot $i$.

En base ortonormal: $G = I_n$ (matriu identitat), i $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = \sum u_i v_i$.

## 3. Norma i Distància

### 3.1 Norma (Longitud)

La **norma** d'un vector és: $$\|\vec{v}\| = \sqrt{\langle \vec{v}, \vec{v} \rangle}$$

**Propietats:** - $\|\vec{v}\| \geq 0$ i $\|\vec{v}\| = 0 \Leftrightarrow \vec{v} = \vec{0}$ - $\|\alpha\vec{v}\| = |\alpha| \|\vec{v}\|$ - **Desigualtat triangular:** $\|\vec{u} + \vec{v}\| \leq \|\vec{u}\| + \|\vec{v}\|$

**Vector unitari:** $\hat{v} = \dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}$ té norma 1.

### 3.2 Desigualtat de Cauchy-Schwarz

$$|\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle| \leq \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|$$

Igualtat si i només si $\vec{u}$ i $\vec{v}$ són linealment dependents.

### 3.3 Distància

En un espai euclidià, la **distància** entre dos punts $P$ i $Q$ és: $$d(P, Q) = \|\vec{PQ}\|$$

En coordenades cartesianes: $$d(P, Q) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (q_i - p_i)^2}$$

## 4. Angle i Ortogonalitat

### 4.1 Angle entre Vectors

L'**angle** $\theta$ entre vectors no nuls $\vec{u}$ i $\vec{v}$ es defineix per: $$\cos\theta = \frac{\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle}{\|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\|}$$

Això està ben definit gràcies a la desigualtat de Cauchy-Schwarz.

### 4.2 Ortogonalitat

Dos vectors són **ortogonals** (perpendiculars) si $\langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 0$, notat $\vec{u} \perp \vec{v}$.

El **subespai ortogonal** a un subespai $W$ és: $$W^{\perp} = \{\vec{v} \in V : \langle \vec{v}, \vec{w} \rangle = 0 \text{ per a tot } \vec{w} \in W\}$$

**Teorema:** $\dim(W) + \dim(W^{\perp}) = \dim(V)$ i $V = W \oplus W^{\perp}$ (suma directa ortogonal).

## 5. Espai Euclidià

### 5.1 Definició

Un **espai euclidià** és un espai afí $\mathcal{E} = (\mathcal{A}, V, +)$ on $V$ és un espai vectorial amb producte escalar.

La distància i l'angle es defineixen usant el producte escalar de l'espai director.

### 5.2 Referència Ortonormal

Una **referència ortonormal** és $\mathcal{R} = \{O; \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ on $\{\vec{e}_i\}$ és base ortonormal.

En referència ortonormal, les fórmules prenen la forma més simple: - $d(P, Q) = \sqrt{(x_Q-x_P)^2 + (y_Q-y_P)^2 + \cdots}$ - $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots$

## 6. Procés d'Ortogonalització de Gram-Schmidt

Donat un conjunt lliure $\{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k\}$, es construeix un conjunt ortogonal $\{\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_k\}$ que genera el mateix subespai:

$$\vec{u}_1 = \vec{v}_1$$ $$\vec{u}_2 = \vec{v}_2 - \frac{\langle \vec{v}_2, \vec{u}_1 \rangle}{\langle \vec{u}_1, \vec{u}_1 \rangle}\vec{u}_1$$ $$\vec{u}_k = \vec{v}_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle \vec{v}_k, \vec{u}_j \rangle}{\langle \vec{u}_j, \vec{u}_j \rangle}\vec{u}_j$$

Normalitzant: $\hat{u}_i = \vec{u}_i / \|\vec{u}_i\|$ s'obté base ortonormal.

## 7. Projeccions Ortogonals

### 7.1 Projecció sobre un Subespai

Sigui $W$ un subespai de $V$. Tot vector $\vec{v} \in V$ es descompon de forma única: $$\vec{v} = \text{proy}_W(\vec{v}) + \vec{v}^{\perp}$$

on $\text{proy}_W(\vec{v}) \in W$ i $\vec{v}^{\perp} \in W^{\perp}$.

Si $\{\vec{u}_1, \ldots, \vec{u}_k\}$ és base ortogonal de $W$: $$\text{proy}_W(\vec{v}) = \sum_{i=1}^{k} \frac{\langle \vec{v}, \vec{u}_i \rangle}{\langle \vec{u}_i, \vec{u}_i \rangle}\vec{u}_i$$

### 7.2 Distància d'un Punt a una Varietat

La **distància** del punt $P$ a la varietat afí $\mathcal{L} = Q + W$ és: $$d(P, \mathcal{L}) = \|\vec{QP} - \text{proy}_W(\vec{QP})\| = \|\text{proy}_{W^{\perp}}(\vec{QP})\|$$

És la longitud del segment perpendicular des de $P$ fins a $\mathcal{L}$.

### 7.3 Fórmules de Distància

**Punt a recta (en $\mathcal{E}^3$):** Recta $r$ passant per $A$ amb direcció $\vec{v}$: $$d(P, r) = \frac{\|\vec{AP} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}$$

**Punt a pla:** Pla $\pi: ax + by + cz + d = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|ax_P + by_P + cz_P + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

**Entre rectes que es creuen:** Rectes $r_1$ (per $A$ amb $\vec{v}_1$) i $r_2$ (per $B$ amb $\vec{v}_2$): $$d(r_1, r_2) = \frac{|(\vec{AB}) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{\|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2\|}$$

## 8. Producte Vectorial (en $\mathcal{E}^3$)

### 8.1 Definició

El **producte vectorial** de $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ i $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ és: $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix} = (u_2v_3-u_3v_2, u_3v_1-u_1v_3, u_1v_2-u_2v_1)$$

### 8.2 Propietats

- **Antisimetria:** $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$ - **Ortogonal:** $(\vec{u} \times \vec{v}) \perp \vec{u}$ i $(\vec{u} \times \vec{v}) \perp \vec{v}$ - **Norma:** $\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\|\vec{v}\|\sin\theta$ = àrea del paral·lelogram - **Nul si paral·lels:** $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{u} \parallel \vec{v}$

### 8.3 Producte Mixt

El **producte mixt** (o triple escalar) és: $$[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w}) = \begin{vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

**Interpretació geomètrica:** $|[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$ = volum del paral·lelepípede.

## 9. Angles entre Varietats

### 9.1 Angle entre Rectes

L'angle entre rectes amb direccions $\vec{v}_1$ i $\vec{v}_2$: $$\cos\theta = \frac{|\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2|}{\|\vec{v}_1\|\|\vec{v}_2\|}$$

(valor absolut perquè l'angle és entre 0 i 90°)

### 9.2 Angle entre Plans

L'angle entre plans amb normals $\vec{n}_1$ i $\vec{n}_2$: $$\cos\theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\|\|\vec{n}_2\|}$$

### 9.3 Angle entre Recta i Pla

L'angle $\alpha$ entre recta (direcció $\vec{v}$) i pla (normal $\vec{n}$): $$\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{v}\|\|\vec{n}\|}$$

(és el complementari de l'angle entre $\vec{v}$ i $\vec{n}$)

## 10. Àrees i Volums

### 10.1 Àrea del Triangle

Donats vèrtexs $A$, $B$, $C$: $$\text{Àrea} = \frac{1}{2}\|\vec{AB} \times \vec{AC}\|$$

### 10.2 Àrea del Paral·lelogram

$$\text{Àrea} = \|\vec{u} \times \vec{v}\|$$

### 10.3 Volum del Tetraedre

Donats vèrtexs $A$, $B$, $C$, $D$: $$\text{Volum} = \frac{1}{6}|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$$

### 10.4 Volum del Paral·lelepípede

$$\text{Volum} = |[\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}]|$$

## 11. Isometries

### 11.1 Definició

Una **isometria** és una aplicació afí $f: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ que preserva distàncies: $$d(f(P), f(Q)) = d(P, Q)$$

Equivalentment, l'aplicació lineal associada preserva el producte escalar: $$\langle \vec{f}(\vec{u}), \vec{f}(\vec{v}) \rangle = \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle$$

### 11.2 Caracterització Matricial

$f$ és isometria si i només si la seva matriu $A$ (en referència ortonormal) satisfà: $$A^T A = I \quad \text{(matriu ortogonal)}$$

- Si $\det(A) = 1$: isometria **directa** (preserva orientació) - Si $\det(A) = -1$: isometria **inversa** (canvia orientació)

## 12. Conclusions

L'espai euclidià combina l'estructura afí amb el producte escalar, permetent definir distàncies, angles, perpendicularitat i volums. Les eines fonamentals són el producte escalar, vectorial i mixt. Les projeccions ortogonals i les distàncies tenen fórmules explícites. Les isometries (que preserven distàncies) tenen matrius ortogonals i constitueixen el grup de moviments rígids.