📋 RESUM: Variable aleatòria discreta
• **Variable aleatòria**: Funció X: Ω → ℝ. Discreta si valors finits/numerables.
• **Funció probabilitat**: p(xᵢ) = P(X=xᵢ), amb Σpᵢ = 1.
• **Funció distribució**: F(x) = P(X≤x), escalonada i no decreixent.
• **Esperança**: E[X] = Σxᵢ·pᵢ, lineal: E[aX+b] = aE[X]+b.
• **Variància**: Var(X) = E[(X-μ)²] = E[X²]-(E[X])².
• **Bernoulli**: 2 resultats, E=p, Var=pq.
• **Binomial B(n,p)**: n assajos, P(X=k)=C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ, E=np, Var=npq.
• **Poisson Po(λ)**: Esdeveniments rars, P(X=k)=e⁻λλᵏ/k!, E=Var=λ.
• **Geomètrica**: Temps fins primer èxit, E=1/p, sense memòria.
• **Hipergeomètrica**: Mostreig sense reposició.
• **Aproximació**: B(n,p)≈Po(np) si n gran, p petit.
Desarrollo del tema
# VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
## 1. Introducció
En l'estudi de fenòmens aleatoris, sovint ens interessa assignar valors numèrics als resultats d'un experiment. Una **variable aleatòria** és una funció que assigna un nombre real a cada resultat de l'espai mostral. Quan aquesta variable pren un conjunt finit o numerable de valors, es diu **discreta**. Les distribucions de probabilitat discretes modelen fenòmens com el llançament de daus, el nombre de defectes en una producció o el nombre de trucades a una centraleta.
## 2. Conceptes Fonamentals
### 2.1 Definició de variable aleatòria
Sigui $\Omega$ l'espai mostral d'un experiment aleatori. Una **variable aleatòria** $X$ és una funció:
$$X: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$$
que assigna a cada resultat $\omega \in \Omega$ un nombre real $X(\omega)$.
Una variable aleatòria és **discreta** si el seu conjunt de valors possibles $\{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$ és finit o numerable.
**Exemples:**
- Nombre de cares en 3 llançaments d'una moneda: $X \in \{0, 1, 2, 3\}$
- Nombre d'intents fins encertar: $X \in \{1, 2, 3, \ldots\}$
### 2.3 Funció de probabilitat (funció de massa)
La **funció de probabilitat** (o funció de massa) assigna a cada valor $x_i$ la seva probabilitat:
$$P(X = x_i) = p_i \quad \text{o simplement} \quad p(x_i) = p_i$$
**Propietats:**
1. $p_i \geq 0$ per a tot $i$
2. $\sum_{i} p_i = 1$
### 2.4 Funció de distribució acumulada
La **funció de distribució** $F(x)$ dóna la probabilitat que $X$ prengui un valor menor o igual a $x$:
$$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_i$$
**Propietats:**
1. $0 \leq F(x) \leq 1$
2. $F$ és no decreixent
3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ i $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$
4. Per a variables discretes, $F$ és una funció escalonada
## 3. Esperança Matemàtica i Variància
### 3.1 Esperança (valor esperat, mitjana)
L'**esperança matemàtica** o valor esperat és:
$$E[X] = \mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$
Si $X \sim B(n, p)$ i $Y \sim B(m, p)$ independents, llavors:
$$X + Y \sim B(n + m, p)$$
### 5.5 Exemples
- Nombre de cares en 10 llançaments d'una moneda: $B(10, 0.5)$
- Nombre de peces defectuoses en un lot de 20 amb taxa 5%: $B(20, 0.05)$
## 6. Distribució de Poisson
### 6.1 Definició
Model per comptar el nombre d'esdeveniments que ocorren en un interval fix de temps o espai, quan:
- Els esdeveniments són independents
- La taxa mitjana $\lambda$ és constant
- No poden ocórrer dos esdeveniments simultàniament
- Binomial: problemes de control de qualitat, enquestes
- Poisson: fenòmens rars (accidents, defectes)
- Taules i calculadora per a probabilitats
- Simulació amb fulls de càlcul
## 13. Conclusions
Les distribucions discretes modelen una àmplia varietat de fenòmens aleatoris de comptatge. La binomial és el model fonamental per a experiments repetits, mentre que Poisson és ideal per a esdeveniments rars. La geomètrica i la binomial negativa modelen temps d'espera, i la hipergeomètrica és essencial quan el mostreig és sense reposició.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
