📋 RESUM: Derivació i integració numèrica
• **Derivació numèrica**: usa Taylor i diferències finites.
• Progressiva: $f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, error $O(h)$.
• Regressiva: $f'(x)\approx\frac{f(x)-f(x-h)}{h}$, error $O(h)$.
• Centrada: $f'(x)\approx\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$, error $O(h^2)$.
• Segona derivada: $f''(x)\approx\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$, error $O(h^2)$.
• Compromís en h: truncament ↓ amb h, arrodoniment ↑ si h massa petit.
• **Integració numèrica**: dividir [a,b] en n intervals, $h=(b-a)/n$.
• Rectangles: ordre global $O(h)$.
• Trapezi compost: $\frac{h}{2}[f_0+2\sum f_i+f_n]$, ordre $O(h^2)$.
• Simpson 1/3 compost (n parell): $\frac{h}{3}[f_0+4\sum f_{imparell}+2\sum f_{parell}+f_n]$, ordre $O(h^4)$.
• **Gauss**: nodes/pesos òptims; amb m punts exacta fins grau $2m-1$.
• **Richardson/Romberg**: extrapolació per eliminar el terme principal d’error.
Desarrollo del tema
# MÈTODES NUMÈRICS PER A LA DERIVACIÓ I LA INTEGRACIÓ
## 1. Introducció
En la pràctica sovint disposem de funcions complicades o de valors tabulats (dades experimentals) i necessitem calcular derivades o integrals. Quan no és possible (o no és eficient) fer-ho exactament, recorrem a **mètodes numèrics**.
Aquest tema tracta:
- **Derivació numèrica:** aproximar $f'(x)$ o derivades superiors.
- **Integració numèrica (quadratura):** aproximar $\int_a^b f(x)\,dx$.
## 2. Derivació numèrica
### 2.1 Diferències finites
Partim del desenvolupament de Taylor:
$$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\cdots$$
$$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)-\cdots$$
Derivació: de Taylor,
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2}f''(\xi)$$
### 2.3 Diferència regressiva (enrere)
$$f'(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$
També té error $O(h)$.
### 2.4 Diferència centrada
Restant les expansions de $f(x+h)$ i $f(x-h)$:
$$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$
**Error de truncament:** $O(h^2)$ (ordre 2), molt més precisa.
Més exactament:
$$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi)$$
### 2.5 Segona derivada
Sumant $f(x+h)$ i $f(x-h)$ i eliminant $f'(x)$:
$$f''(x)\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$
**Error:** $O(h^2)$.
### 2.6 Elecció del pas h i errors
Hi ha dos tipus d'error:
- **Truncament:** disminueix quan h baixa.
- **Arrodoniment:** augmenta quan h és massa petit (cancel·lació numèrica en restes de nombres propers).
Per tant, existeix un **h òptim** que equilibra ambdós errors.
## 3. Integració numèrica (quadratures)
Volem aproximar:
$$I=\int_a^b f(x)\,dx$$
En general dividim l'interval en subintervals amb pas:
$$h=\frac{b-a}{n}$$
amb nodes $x_i=a+ih$.
**Error teòric (una sola aplicació):**
$$E_S= -\frac{(b-a)^5}{180}f^{(4)}(\xi)$$
**Observació:** Simpson és exacta per a polinomis fins a grau 3.
## 7. Regla de Simpson 3/8 (apunt)
Usa polinomi de grau 3 en blocs de 3 intervals (n múltiple de 3):
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}[f_0+3f_1+3f_2+f_3]$$
(i en versió composta amb pesos 3 i 2).
## 8. Quadratures de Gauss (idea)
Les quadratures de Gauss escullen nodes i pesos òptims per maximitzar el grau d'exactitud. En $[-1,1]$:
$$\int_{-1}^{1} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^{m} w_i f(x_i)$$
Amb $m$ punts es pot ser exactes fins grau $2m-1$ per polinomis. Els nodes són arrels de polinomis de Legendre.
## 9. Extrapolació de Richardson i Romberg
Si un mètode dóna:
$$I(h)=I + C h^p + O(h^{p+1})$$
combinant $I(h)$ i $I(h/2)$ podem eliminar el terme principal:
$$I\approx \frac{2^p I(h/2)-I(h)}{2^p-1}$$
**Romberg** aplica aquesta idea al trapezi de manera iterativa, millorant molt la precisió.
## 10. Integració amb dades tabulades
Si només coneixem valors $f(x_i)$, el trapezi i Simpson són especialment útils perquè només demanen avaluacions en nodes.
També es poden usar splines per construir una aproximació suau i integrar el spline.
## 11. Comparació de mètodes
| Mètode | Cost (avaluacions) | Ordre global | Notes |
|--------|---------------------|--------------|-------|
| Rectangle | n | O(h) | molt senzill |
| Trapezi compost | n+1 | O(h^2) | base de Romberg |
| Simpson compost | n+1 (n parell) | O(h^4) | molt eficient |
| Gauss m punts | m | molt alt | nodes òptims |
## 12. Aplicacions
- Càlcul de superfícies i volums en models.
- Estimació de distància a partir de velocitat tabulada (integral).
- Estimació de velocitat/acceleració a partir de posició tabulada (derivació).
- Resolució d'equacions diferencials (pas intermedi: derivació/integració numèrica).
## 13. Aplicacions didàctiques
- Relacionar trapezi i Simpson amb interpolació (lineal/quadràtica).
- Visualitzar errors amb GeoGebra o fulls de càlcul.
- Treballar amb dades reals (p. ex. mesures de temperatura al llarg del dia).
- Debatre la tria de pas $h$: precisió vs cost i arrodoniment.
## 14. Conclusions
La derivació numèrica es basa en diferències finites i és sensible a l'arrodoniment quan $h$ és massa petit. En integració, les regles compostes del trapezi i Simpson ofereixen un bon compromís entre simplicitat i precisió, amb ordres $O(h^2)$ i $O(h^4)$ respectivament. Mètodes més sofisticats com Gauss i Romberg milloren l'eficiència quan es requereix alta precisió.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
