T4. Nombres racionals

Desarrollo del tema

# NOMBRES RACIONALS

## 1. Introducció

En el conjunt dels nombres enters $\mathbb{Z}$, operacions com la suma, la resta i la multiplicació són internes, però la **divisió no sempre és possible**. Per exemple, l'equació $3x = 2$ no té solució a $\mathbb{Z}$. Per resoldre aquest tipus d'equacions de la forma $bx = a$, sorgeix la necessitat d'ampliar el camp numèric. Aquesta ampliació dona lloc al conjunt dels **nombres racionals** $\mathbb{Q}$, que formalitza la idea intuïtiva de "part d'un tot" o "quocient".

## 2. Construcció del Conjunt $\mathbb{Q}$

### 2.1 Construcció formal

Considerem el conjunt $S = \mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\}) = \{(a, b) \mid a, b \in \mathbb{Z}, b \neq 0\}$.

Definim una relació d'equivalència $\sim$:

$$(a, b) \sim (c, d) \iff a \cdot d = b \cdot c$$

**Propietats de la relació:** - **Reflexiva:** $(a, b) \sim (a, b)$ ja que $ab = ba$ - **Simètrica:** Si $(a, b) \sim (c, d)$, aleshores $(c, d) \sim (a, b)$ - **Transitiva:** Si $(a, b) \sim (c, d)$ i $(c, d) \sim (e, f)$, aleshores $(a, b) \sim (e, f)$

El conjunt dels nombres racionals és:

$$\mathbb{Q} = S / \sim = \{[(a, b)] \mid (a, b) \in S\}$$

## 3. Representació com a Fraccions

La classe $[(a,b)]$ es representa amb notació de **fracció**:

$$[(a,b)] = \frac{a}{b}$$

on $a$ s'anomena **numerador** i $b$ **denominador**.

### 3.1 Fraccions equivalents

Dues fraccions $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ són equivalents si $a \cdot d = b \cdot c$.

**Exemple:** $\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{-5}{-10}$

### 3.2 Fracció irreductible

És el representant canònic de cada classe. Una fracció $\frac{a}{b}$ és **irreductible** si: 1. $\text{mcd}(|a|, |b|) = 1$ 2. $b > 0$

**Procediment:** Dividir numerador i denominador pel seu MCD i ajustar el signe.

**Exemple:** $\frac{-12}{30}$: $\text{mcd}(12, 30) = 6$, per tant $\frac{-12 \div 6}{30 \div 6} = \frac{-2}{5}$

## 4. Operacions amb Racionals

### 4.1 Suma

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

**Propietats:** - **Interna:** $\mathbb{Q}$ és tancat per la suma - **Associativa:** $(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) + \frac{e}{f} = \frac{a}{b} + (\frac{c}{d} + \frac{e}{f})$ - **Commutativa:** $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}$ - **Element neutre:** $0 = \frac{0}{1}$ - **Element oposat:** Per a $\frac{a}{b}$, existeix $\frac{-a}{b}$

### 4.2 Producte

$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$

**Propietats:** - **Interna, associativa, commutativa** - **Element neutre:** $1 = \frac{1}{1}$ - **Element invers:** Per a $\frac{a}{b} \neq 0$, existeix $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$

### 4.3 Propietat distributiva

$$\frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d} + \frac{e}{f}\right) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$$

### 4.4 Resta i divisió

- **Resta:** $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a}{b} + \frac{-c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$ - **Divisió:** $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$ (per a $\frac{c}{d} \neq 0$)

## 5. Ordre i Densitat de $\mathbb{Q}$

### 5.1 Relació d'ordre

Per a fraccions amb denominador positiu $\frac{a}{b}$ i $\frac{c}{d}$ (amb $b, d > 0$):

$$\frac{a}{b} \leq \frac{c}{d} \iff a \cdot d \leq b \cdot c$$

L'ordre és **total**: qualssevol dos racionals són comparables.

### 5.2 Propietat de densitat

> Donats dos nombres racionals diferents $q_1$ i $q_2$, **sempre** existeix un altre nombre racional $q_3$ tal que $q_1 < q_3 < q_2$.

**Càlcul:** La mitjana aritmètica $q_3 = \frac{q_1 + q_2}{2}$ sempre compleix $q_1 < q_3 < q_2$.

**Conseqüència:** Entre dos racionals hi ha **infinits** altres racionals. No existeix el "següent" nombre racional.

## 6. Representació Decimal

Tot nombre racional es pot expressar com a nombre decimal efectuant la divisió $a \div b$.

### 6.1 Tipus de representacions decimals

**Decimal exacte (finit):** El residu arriba a ser 0. - **Condició:** En la fracció irreductible, el denominador només té factors 2 i/o 5. - **Exemple:** $\frac{3}{40} = 0.075$ ($40 = 2^3 \cdot 5$)

**Decimal periòdic:** El residu es repeteix cíclicament, generant un **període**.

- **Periòdic pur:** El període comença immediatament després de la coma. - Denominador sense factors 2 ni 5. - Exemple: $\frac{1}{7} = 0.\overline{142857}$

- **Periòdic mixt:** Hi ha un **anteperíode** abans del període. - Denominador amb factors 2 o 5 i altres factors. - Exemple: $\frac{5}{12} = 0.41\overline{6}$ ($12 = 2^2 \cdot 3$)

### 6.2 Caracterització

| Tipus decimal | Factors del denominador | |---------------|------------------------| | Exacte | Només 2 i/o 5 | | Periòdic pur | Cap 2 ni 5 | | Periòdic mixt | 2 i/o 5, més altres |

## 7. Fracció Generatriu

### 7.1 De decimal exacte a fracció

Numerador = nombre sense coma; Denominador = $10^n$ (n = xifres decimals)

$$2.345 = \frac{2345}{1000} = \frac{469}{200}$$

### 7.2 De decimal periòdic pur a fracció

$$\frac{\text{(Part entera + període)} - \text{Part entera}}{\text{Tants 9 com xifres té el període}}$$

**Exemple:** $N = 3.\overline{18}$

$$\frac{318 - 3}{99} = \frac{315}{99} = \frac{35}{11}$$

**Justificació algebraica:** - $x = 3.181818...$ - $100x = 318.181818...$ - $100x - x = 315$ - $99x = 315 \Rightarrow x = \frac{315}{99}$

### 7.3 De decimal periòdic mixt a fracció

$$\frac{\text{(Entera + anteperíode + període)} - \text{(Entera + anteperíode)}}{\text{Tants 9 com xifres del període, seguits de tants 0 com xifres de l'anteperíode}}$$

**Exemple:** $N = 2.51\overline{43}$

$$\frac{25143 - 251}{9900} = \frac{24892}{9900} = \frac{6223}{2475}$$

## 8. $\mathbb{Q}$ com a Cos

El conjunt $(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ té estructura de **cos commutatiu**:

1. $(\mathbb{Q}, +)$ és un grup abelià 2. $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot)$ és un grup abelià 3. El producte és distributiu respecte de la suma

**Propietats destacades:** - $\mathbb{Q}$ és el cos més petit de característica zero - És el **cos de fraccions** de l'anell $\mathbb{Z}$ - És un subcòs de $\mathbb{R}$ i $\mathbb{C}$

## 9. Aplicacions Didàctiques

### 9.1 Primer cicle d'ESO

- **Contextualització:** Repartir pizzes, receptes, enquestes - **Models visuals:** Àrees (cercles, rectangles), recta numèrica - **Fraccions equivalents:** "La mateixa quantitat en trossos diferents" - **Operacions:** Denominador comú com "parlar el mateix idioma"

### 9.2 Segon cicle d'ESO

- **Connexió fracció-decimal:** Classificar decimals - **Fracció generatriu:** Procediment algebraic - **Recta numèrica:** Densitat (trobar nombres entre dos racionals) - **Aplicacions:** Percentatges, escales, probabilitat

### 9.3 Errors freqüents

- Veure $\frac{a}{b}$ com dos nombres i no un sol - Error: $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}$ ❌ - Confondre ordre: creure que $\frac{2}{5} > \frac{1}{2}$ ❌

## 10. Conclusions

Els nombres racionals amplien $\mathbb{Z}$ permetent la divisió. Tot i ser un conjunt dens (entre dos racionals n'hi ha infinits), $\mathbb{Q}$ té "forats": existeixen magnituds (com $\sqrt{2}$ o $\pi$) que no són racionals. Això motiva la construcció de $\mathbb{R}$.