📋 RESUM: Integració de funcions d'una variable
**Integral indefinida:**
• Primitiva: F'(x) = f(x) → ∫f(x)dx = F(x) + C
• Propietat de linealitat
**Tècniques d'integració:**
• Canvi de variable: ∫f(φ(t))φ'(t)dt
• Parts: ∫u dv = uv - ∫v du (regla ILATE)
• Fraccions simples: descomposició de racionals
• Trigonomètriques: substitució Weierstrass t = tan(x/2)
**Integral definida (Riemann):**
• ∫[a,b] f = lim(sumes de Riemann)
• Propietats: linealitat, additivitat, monotonia
**Teorema Fonamental:**
• 1a part: F(x) = ∫[a,x] f(t)dt → F'(x) = f(x)
• 2a part (Barrow): ∫[a,b] f = F(b) - F(a)
**Integrals impròpies:** interval o integrand no fitat, criteris de convergència
**Aplicacions:** àrea, longitud d'arc, volum i superfície de revolució
Desarrollo del tema
# INTEGRACIÓ DE FUNCIONS D'UNA VARIABLE REAL
## 1. Introducció
La **integració** és una de les operacions fonamentals del càlcul, amb dos aspectes complementaris: la **integral indefinida** (primitiva o antiderivada) i la **integral definida** (àrea sota la corba). El **Teorema Fonamental del Càlcul** estableix la connexió profunda entre ambdós conceptes.
Aquest tema desenvolupa la teoria de la integració, les tècniques principals i les aplicacions geomètriques i físiques.
## 2. La Integral Indefinida
### 2.1 Primitiva o antiderivada
Una funció $F(x)$ és una **primitiva** de $f(x)$ en un interval $I$ si:
$$F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$$
**Teorema:** Si $F$ és una primitiva de $f$, llavors totes les primitives de $f$ són de la forma $F(x) + C$, on $C$ és una constant arbitrària.
**Pas 3:** Integrar cada fracció simple:
$$\int \frac{A}{(x-a)^n}\,dx = \begin{cases} A\ln|x-a| + C & n=1 \\ \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C & n>1 \end{cases}$$
Per fraccions amb denominador quadràtic irreductible, completar el quadrat i usar arctangent.
### 4.4 Integrals trigonomètriques
**Tipus $\int \sin^m x \cos^n x\,dx$:**
- Si $m$ o $n$ és senar: substituir per la identitat $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$
- Si ambdós són parells: usar fórmules de reducció d'angle
**Fórmules útils:**
$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$
$$\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$$
**Substitució universal de Weierstrass:** $t = \tan\frac{x}{2}$
$$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$$
### 4.5 Integrals amb radicals
**Substitució d'Euler** per $\sqrt{ax^2 + bx + c}$:
- Si $a > 0$: $\sqrt{ax^2+bx+c} = t \pm x\sqrt{a}$
- Si $c > 0$: $\sqrt{ax^2+bx+c} = tx \pm \sqrt{c}$
**Integrals binòmies:** $\int x^m (a+bx^n)^p\,dx$ és resoluble en termes elementals només si $p \in \mathbb{Z}$, o $\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}$, o $\frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}$ (teorema de Chebyshev).
Si $f$ és contínua en $[a,b]$, existeix $c \in (a,b)$ tal que:
$$\int_a^b f(x)\,dx = f(c) \cdot (b-a)$$
El valor $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$ és el **valor mitjà** de $f$ en $[a,b]$.
## 10. Conclusions
La integració és essencial per al càlcul d'àrees, volums, longituds i altres magnituds. El domini de les diverses tècniques (substitució, parts, fraccions simples) és fonamental per a qualsevol matemàtic. El Teorema Fonamental del Càlcul connecta la integral definida amb la primitiva, proporcionant la base per als càlculs pràctics.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
