Temario · Matemàtiques
OPOSGRATISOPOSGRATISTemario · Matemàtiques
📋 RESUM: Geometria afí i espai afí • Espai afí: terna (𝒜, V, +) amb punts, espai vectorial i acció que satisfà axiomes (neutre, associativitat, transitivitat) • Vector de posició: únic vector PQ tal que P + PQ = Q; relació de Chasles: PQ + QR = PR • Referència afí: origen O + base {e₁,...,eₙ}; coordenades via OP = Σxᵢeᵢ • Varietat afí: 𝓛 = P + W (punt base + subespai director); dim(𝓛) = dim(W) • Nomenclatura: punt (dim 0), recta (dim 1), pla (dim 2), hiperplà (codim 1) • Equacions: paramètriques (amb paràmetres λ) o implícites/cartesianes (equacions lineals) • Intersecció: 𝓛₁ ∩ 𝓛₂ ≠ ∅ ⟺ P₁P₂ ∈ W₁ + W₂; fórmula de Grassmann afí • Paral·lelisme: W₁ ⊆ W₂ o W₂ ⊆ W₁; estrictament paral·leles si W₁ = W₂ • Raó simple: r(A,B,C) = λ amb AC = λ·AB; invariant afí fonamental • Coordenades baricèntriques: Q = Σλᵢ·Pᵢ amb Σλᵢ = 1 • Aplicació afí: f(P+v) = f(P) + f̄(v); en coordenades: f(X) = AX + b • Propietats preservades: alineació, paral·lelisme, raó simple, baricentre • Afinitat: aplicació afí bijectiva (det(A) ≠ 0); exemples: translacions, homoteties, simetries
# GEOMETRIA AFÍ. ESPAI AFÍ
## 1. Introducció
La **geometria afí** estudia les propietats de les figures que es preserven sota transformacions afins: paral·lelisme, raons de segments i punts mitjans. A diferència de la geometria euclidiana, no disposa de conceptes mètrics com distància o angle.
Històricament, la geometria afí va sorgir de l'abstracció de la geometria euclidiana, eliminant la noció de mesura però conservant les propietats d'incidència i paral·lelisme. És fonamental en àlgebra lineal, geometria algebraica i gràfics per computador.
## 2. Definició d'Espai Afí
### 2.1 Definició Axiomàtica
Un **espai afí** és una terna $(\mathcal{A}, V, +)$ on: - $\mathcal{A}$ és un conjunt no buit (punts) - $V$ és un espai vectorial sobre un cos $K$ (vectors) - $+: \mathcal{A} \times V \to \mathcal{A}$ és una acció que satisfà:
**Axioma 1 (Element neutre):** Per a tot $P \in \mathcal{A}$: $P + \vec{0} = P$
**Axioma 2 (Associativitat):** Per a tot $P \in \mathcal{A}$ i $\vec{u}, \vec{v} \in V$: $$P + (\vec{u} + \vec{v}) = (P + \vec{u}) + \vec{v}$$
**Axioma 3 (Transitivitat):** Per a tot $P, Q \in \mathcal{A}$, existeix un únic $\vec{v} \in V$ tal que $P + \vec{v} = Q$
Aquest vector únic es nota $\vec{PQ}$ i es diu **vector de posició** de $Q$ respecte de $P$.
### 2.2 Propietats Immediates
- $\vec{PP} = \vec{0}$ - $\vec{PQ} = -\vec{QP}$ - **Relació de Chasles:** $\vec{PQ} + \vec{QR} = \vec{PR}$ - Si $\vec{PQ} = \vec{RS}$, llavors $PQSR$ és un paral·lelogram
### 2.3 Dimensió
La **dimensió** de l'espai afí $\mathcal{A}$ és la dimensió de l'espai vectorial associat $V$: $$\dim(\mathcal{A}) = \dim(V)$$
## 3. Sistemes de Referència
### 3.1 Referència Afí
Una **referència afí** en un espai afí $n$-dimensional és un conjunt $\mathcal{R} = \{O; \vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ on: - $O \in \mathcal{A}$ és l'**origen** - $\{\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n\}$ és una base de $V$
Tot punt $P \in \mathcal{A}$ té **coordenades** $(x_1, \ldots, x_n)$ tals que: $$\vec{OP} = x_1\vec{e}_1 + x_2\vec{e}_2 + \cdots + x_n\vec{e}_n$$
### 3.2 Canvi de Referència
Siguin $\mathcal{R} = \{O; \mathcal{B}\}$ i $\mathcal{R}' = \{O'; \mathcal{B}'\}$ dues referències. Si $P$ té coordenades $(x_1, \ldots, x_n)$ en $\mathcal{R}$ i $(x'_1, \ldots, x'_n)$ en $\mathcal{R}'$:
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} x'_1 \\ \vdots \\ x'_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}$$
on $M$ és la matriu de canvi de base de $\mathcal{B}'$ a $\mathcal{B}$ i $(a_1, \ldots, a_n)$ són les coordenades de $O'$ en $\mathcal{R}$.
## 4. Varietats Afins (Subespais Afins)
### 4.1 Definició
Una **varietat afí** (o subespai afí) de $\mathcal{A}$ és un subconjunt $\mathcal{L} \subseteq \mathcal{A}$ de la forma: $$\mathcal{L} = P + W = \{P + \vec{w} : \vec{w} \in W\}$$
on $P \in \mathcal{A}$ i $W$ és un subespai vectorial de $V$.
- $P$ és un **punt base** de $\mathcal{L}$ - $W$ és la **direcció** o **subespai director** de $\mathcal{L}$ - $\dim(\mathcal{L}) = \dim(W)$
### 4.2 Nomenclatura per Dimensions
| Dimensió | Nom | Descripció | |----------|-----|------------| | 0 | Punt | $\mathcal{L} = \{P\}$ | | 1 | Recta | $\mathcal{L} = P + \langle\vec{v}\rangle$ | | 2 | Pla | $\mathcal{L} = P + \langle\vec{u}, \vec{v}\rangle$ | | $n-1$ | Hiperplà | Codimensió 1 |
### 4.3 Equacions de Varietats Afins
**Equacions paramètriques:** Per a $\mathcal{L} = P_0 + \langle\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k\rangle$ amb $P_0 = (a_1, \ldots, a_n)$: $$\begin{cases} x_1 = a_1 + \lambda_1 v_{11} + \cdots + \lambda_k v_{k1} \\ \vdots \\ x_n = a_n + \lambda_1 v_{1n} + \cdots + \lambda_k v_{kn} \end{cases}$$
**Equacions implícites (cartesianes):** Són les equacions lineals que satisfan tots els punts de $\mathcal{L}$. Una varietat de dimensió $k$ en $\mathcal{A}^n$ requereix $n-k$ equacions independents.
**Recta en $\mathcal{A}^3$:** Passant per $P_0 = (a, b, c)$ amb direcció $\vec{v} = (l, m, n)$: - Paramètriques: $(x, y, z) = (a, b, c) + t(l, m, n)$ - Contínua: $\dfrac{x-a}{l} = \dfrac{y-b}{m} = \dfrac{z-c}{n}$
**Pla en $\mathcal{A}^3$:** $ax + by + cz + d = 0$, amb vector normal $\vec{n} = (a, b, c)$
## 5. Posicions Relatives
### 5.1 Intersecció de Varietats
Siguin $\mathcal{L}_1 = P_1 + W_1$ i $\mathcal{L}_2 = P_2 + W_2$ varietats afins.
**Teorema:** $\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2 \neq \emptyset$ si i només si $\vec{P_1P_2} \in W_1 + W_2$.
En cas afirmatiu: $\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2 = Q + (W_1 \cap W_2)$ per a algun $Q$.
### 5.2 Fórmula de Grassmann Afí
$$\dim(\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2) = \dim(\mathcal{L}_1) + \dim(\mathcal{L}_2) - \dim(\mathcal{L}_1 \cap \mathcal{L}_2)$$
on $\mathcal{L}_1 + \mathcal{L}_2$ és la varietat afí mínima que conté $\mathcal{L}_1$ i $\mathcal{L}_2$.
### 5.3 Paral·lelisme
Dues varietats $\mathcal{L}_1 = P_1 + W_1$ i $\mathcal{L}_2 = P_2 + W_2$ són **paral·leles** si una direcció conté l'altra: $W_1 \subseteq W_2$ o $W_2 \subseteq W_1$.
Si $W_1 = W_2$: són **estrictament paral·leles** (no es tallen o coincideixen).
### 5.4 Posicions Relatives en $\mathcal{A}^3$
**Dues rectes:** - **Coincidents:** mateixa direcció i un punt comú - **Paral·leles:** mateixa direcció, cap punt comú - **Secants:** direccions independents, un punt comú - **Que es creuen:** direccions independents, cap punt comú (rang = 3 del sistema)
**Recta i pla:** - **Continguda:** la recta és dins el pla - **Paral·lels:** $\vec{v} \perp \vec{n}$ (direcció de recta perpendicular a normal del pla) - **Secants:** es tallen en un punt
**Dos plans:** - **Coincidents:** mateixa equació (proporcionals) - **Paral·lels:** normals proporcionals, termes independents no - **Secants:** normals no proporcionals (intersecció = recta)
## 6. Raó Simple i Coordenades Baricèntriques
### 6.1 Raó Simple
Donats tres punts col·lineals $A, B, C$ (amb $A \neq B$), la **raó simple** de $C$ respecte $(A, B)$ és: $$r(A, B, C) = \lambda \text{ tal que } \vec{AC} = \lambda \vec{AB}$$
Propietats: - $r(A, B, A) = 0$ - $r(A, B, B) = 1$ - $C$ entre $A$ i $B$ si i només si $0 < \lambda < 1$ - $C$ és punt mitjà si i només si $\lambda = 1/2$
### 6.2 Coordenades Baricèntriques
Donats $n+1$ punts en posició general $\{P_0, P_1, \ldots, P_n\}$ en $\mathcal{A}^n$, tot punt $Q$ s'escriu: $$Q = \lambda_0 P_0 + \lambda_1 P_1 + \cdots + \lambda_n P_n \quad \text{amb} \quad \sum_{i=0}^{n} \lambda_i = 1$$
Els escalars $(\lambda_0, \ldots, \lambda_n)$ són les **coordenades baricèntriques** de $Q$.
**Baricentre (centroide):** $G = \dfrac{1}{n+1}(P_0 + P_1 + \cdots + P_n)$ té coordenades $\left(\dfrac{1}{n+1}, \ldots, \dfrac{1}{n+1}\right)$.
## 7. Aplicacions Afins
### 7.1 Definició
Una **aplicació afí** entre espais afins $\mathcal{A}$ i $\mathcal{A}'$ és una aplicació $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ tal que existeix una aplicació lineal $\vec{f}: V \to V'$ (l'**aplicació lineal associada**) amb: $$f(P + \vec{v}) = f(P) + \vec{f}(\vec{v})$$
per a tot $P \in \mathcal{A}$ i $\vec{v} \in V$.
### 7.2 Expressió en Coordenades
Fixades referències $\mathcal{R}$ en $\mathcal{A}$ i $\mathcal{R}'$ en $\mathcal{A}'$: $$f(X) = AX + b$$
on $A$ és la matriu de $\vec{f}$ i $b = f(O)$ (imatge de l'origen).
### 7.3 Propietats
Les aplicacions afins preserven: 1. **Alineació:** punts col·lineals van a punts col·lineals 2. **Paral·lelisme:** varietats paral·leles van a varietats paral·leles 3. **Raó simple:** $r(A, B, C) = r(f(A), f(B), f(C))$ 4. **Baricentre:** $f(\text{baricentre}) = \text{baricentre de les imatges}$
### 7.4 Afinitats
Una **afinitat** és una aplicació afí bijectiva (isomorfisme afí). Les afinitats formen un grup amb la composició.
En $\mathcal{A}^n(\mathbb{R})$, $f$ és afinitat si i només si $\det(A) \neq 0$.
## 8. Classificació d'Afinitats en el Pla
### 8.1 Translacions
$f(P) = P + \vec{v}$ (aplicació lineal associada = identitat). No tenen punts fixos (excepte $\vec{v} = \vec{0}$).
### 8.2 Homoteties
$f(P) = O + k \cdot \vec{OP}$ amb centre $O$ i raó $k \neq 0, 1$. $O$ és l'únic punt fix.
### 8.3 Afinitats amb Recta de Punts Fixos
- **Simetria axial afí:** fixa una recta $r$ i envia punts a punts tals que $r$ és mediatriu afí - **Dilatació:** fixa una recta $r$ i dilata perpendiculament a $r$
## 9. Espai Afí Real i Geometria Analítica
### 9.1 Espai Afí Estàndard
L'espai afí $\mathcal{A}^n(\mathbb{R})$ té com a conjunt de punts $\mathbb{R}^n$ i espai director $\mathbb{R}^n$ amb l'acció natural.
És el marc natural de la **geometria analítica**: rectes, plans, problemes d'incidència i paral·lelisme.
### 9.2 Convexitat
Un subconjunt $C \subseteq \mathcal{A}^n$ és **convex** si per a tot $P, Q \in C$ i $\lambda \in [0,1]$: $$(1-\lambda)P + \lambda Q \in C$$
L'**envolupant convexa** d'un conjunt és la intersecció de tots els convexos que el contenen.
## 10. Conclusions
La geometria afí proporciona l'estructura algebraica per estudiar incidència, paral·lelisme i raons sense necessitat de mètrica. Les varietats afins (rectes, plans, hiperplans) es descriuen amb equacions lineals, i les aplicacions afins preserven les propietats fonamentals de la geometria. És el punt de partida natural per a la geometria euclidiana (afegint producte escalar) i la geometria projectiva (afegint punts a l'infinit).
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.