Transformades de Laplace i aplicacions

📋 RESUM: Transformades de Laplace i aplicacions • Definició: ℒ{f(t)} = F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^{-st}dt, amb s = σ + iω complex • Transformades bàsiques: ℒ{1}=1/s, ℒ{tⁿ}=n!/s^{n+1}, ℒ{e^{at}}=1/(s-a), ℒ{sin(ωt)}=ω/(s²+ω²) • Linealitat: ℒ{af+bg} = aF(s)+bG(s) • Translació en s: ℒ{e^{at}f(t)} = F(s-a) • Translació en t: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e^{-as}F(s) (amb u graó de Heaviside) • Derivades: ℒ{f'} = sF(s)-f(0), ℒ{f''} = s²F(s)-sf(0)-f'(0) — clau per EDOs • Convolució: ℒ{f*g} = F(s)·G(s), amb (f*g)(t) = ∫₀^t f(τ)g(t-τ)dτ • Delta de Dirac: ℒ{δ(t)} = 1, ℒ{δ(t-a)} = e^{-as} • Inversa per fraccions parcials: descomposar P(s)/Q(s) segons arrels (simples, repetides, complexes) • Aplicació a EDOs: transformar → equació algebraica → resoldre → invertir • Funció de transferència: H(s) = Y(s)/X(s) — estabilitat si pols amb Re<0 • Aplicacions: circuits RLC (impedàncies), sistemes mecànics, teoria de control