Transformacions en el pla i en l'espai

📋 RESUM: Transformacions en el pla i en l’espai • Lineals: T(x)=Ax, preserven l’origen • Afins: f(x)=Ax+b; si det(A)≠0 són afinitats; preserven alineació, paral·lelisme i raó simple • Homogènies: afins en 2D/3D es representen amb matrius 3×3 i 4×4 per facilitar composició • Isometries: preserven distàncies; forma f(x)=Ax+b amb A ortogonal (AᵀA=I). Directes si det=1, inverses si det=-1 • Isometries del pla: translacions, rotacions, simetries axials, simetries lliscants • Isometries de l’espai: translacions, rotacions d’eix, simetries de pla, simetria central, moviments helicoïdals • Similituds: d’=k·d (k>0); f(x)=kAx+b. Homotetia: f(x)=O+k(x−O) • Afins destacades: cisallament (shear), projeccions, reflexions • Grups: E(n) (isometries), GL(n) (lineals invertibles), grup afí, grup de similituds • Projectives (homografies): en P², [x:y:1]↦H[x:y:1]; envien rectes a rectes i preserven la raó doble • Punts fixos: (A−I)x=−b; translació sense fixos (si b≠0), rotació amb 1 fix, simetria axial amb una recta fixa