Geometria projectiva. Espai projectiu

📋 RESUM: Geometria projectiva i espai projectiu • Espai projectiu: P^n(ℝ)=(ℝ^{n+1}\{0})/∼, on X∼λX (λ≠0). Punts amb coordenades homogènies [x₀:…:xₙ] • Carta afí: x₀≠0 ↔ (x₁/x₀,…,xₙ/x₀); hiperplà a l'infinit Π∞: x₀=0 • Rectes/hiperplans: equacions lineals homogènies a·x=0; a P², recta ax+by+cz=0 • Dualitat: intercanvi punt↔hiperplà; moltes propietats es dupliquen (Pascal/Brianchon) • Projectivitats: transformacions induïdes per A∈GL(n+1); grup PGL(n+1) (A i λA equivalen) • Punts a l'infinit: rectes paral·leles afins es tallen en un punt de Π∞; cada direcció ↔ punt a l'infinit • Raó doble (A,B;C,D)=((c-a)(d-b))/((c-b)(d-a)), invariant fonamental de projectivitats de P¹; cas harmònic si =−1 • Còniques projectives: equació homogènia de grau 2, XᵀQX=0; tangent en P: PᵀQX=0 • Teoremes: Desargues (perspectiva), Pappus (col·lineació) • Aplicacions: perspectiva, homografies en visió, compactificació en geometria algebraica