T39. Geometria projectiva. Espai projectiu

Desarrollo del tema

# GEOMETRIA PROJECTIVA. ESPAI PROJECTIU

## 1. Introducció

La **geometria projectiva** sorgeix de l'estudi de la perspectiva i unifica el tractament de rectes paral·leles afegint **punts a l'infinit**. En aquest marc, dues rectes diferents del pla projectiu sempre es tallen (no existeix el paral·lelisme com a excepció).

És fonamental en geometria algebraica, visió per computador, i en la teoria clàssica de còniques. La idea central és estudiar propietats invariants sota **projectivitats** (transformacions projectives), com la **raó doble**.

## 2. Espai projectiu

### 2.1 Definició de P^n

L'**espai projectiu real** $\mathbb{P}^n(\mathbb{R})$ es defineix com el conjunt de rectes vectorials per l'origen a $\mathbb{R}^{n+1}$: $$\mathbb{P}^n(\mathbb{R}) = (\mathbb{R}^{n+1}\setminus\{0\})/\sim$$ on $X\sim Y$ si existeix $\lambda\neq 0$ tal que $Y=\lambda X$.

Un punt projectiu s'escriu en **coordenades homogènies**: $$[x_0:x_1:\cdots:x_n], \quad (x_0,\ldots,x_n)\neq 0,$$ amb l'equivalència $[x_0:...:x_n]=[\lambda x_0:...:\lambda x_n]$.

### 2.2 Afí dins projectiu

El subespai afí $\mathbb{R}^n$ s'identifica amb el subconjunt $x_0\neq 0$: $$[1:x_1:...:x_n] \leftrightarrow (x_1,\ldots,x_n).$$

Els punts amb $x_0=0$ formen l'**hiperplà a l'infinit** $\Pi_\infty$.

En $\mathbb{P}^2$, $\Pi_\infty$ és la **recta de l'infinit**, que conté totes les direccions del pla afí.

## 3. Incidència i dualitat

### 3.1 Rectes i hiperplans

En $\mathbb{P}^2$, una recta projectiva s'escriu com una equació lineal homogènia: $$ax+by+cz=0$$ en coordenades homogènies $[x:y:z]$.

En $\mathbb{P}^n$, un hiperplà és $a_0x_0+\cdots+a_nx_n=0$.

### 3.2 Dualitat

Existeix una dualitat entre punts i hiperplans: - A un vector de coeficients $a=(a_0,\ldots,a_n)$ associem l'hiperplà $a\cdot x=0$. - A una recta en $\mathbb{P}^2$ li correspon un punt en l'espai dual.

La dualitat intercanvia: incidència ↔ contenció, i manté teoremes projectius (p. ex. Pascal ↔ Brianchon).

## 4. Transformacions projectives (projectivitats)

### 4.1 Definició

Una **projectivitat** de $\mathbb{P}^n$ és la transformació induïda per una aplicació lineal invertible de $\mathbb{R}^{n+1}$: $$x \mapsto Ax, \quad A\in GL(n+1,\mathbb{R}).$$

En coordenades homogènies: $$[x] \mapsto [Ax].$$

Observació: $A$ i $\lambda A$ defineixen la mateixa projectivitat. Per això, el grup de projectivitats és $PGL(n+1,\mathbb{R})$.

### 4.2 Afinitats i isometries dins projectives

Les transformacions afins del pla afí s'obtenen com a projectivitats que preserven l'hiperplà a l'infinit.

## 5. Raó doble (cross-ratio)

### 5.1 Definició en una recta projectiva

Siguin $A,B,C,D$ quatre punts diferents d'una recta afí amb coordenades $a,b,c,d$ (en un sistema afí). La **raó doble** és: $$ (A,B;C,D) = \frac{(c-a)(d-b)}{(c-b)(d-a)}.$$

És invariant per projectivitats de la recta.

En coordenades homogènies es pot definir sense recórrer a coordenades afins triant una carta.

### 5.2 Propietats

- Invariant projectiu fonamental. - Permet caracteritzar projectivitats en $\mathbb{P}^1$. - Si $ (A,B;C,D)=-1$ es diu que $C$ i $D$ són **harmònics** respecte $A,B$.

## 6. Geometria projectiva del pla: punts a l'infinit

En el pla afí, dues rectes paral·leles no es tallen. En el pla projectiu $\mathbb{P}^2$:

- Rectes paral·leles del pla afí es tallen en un punt de la recta a l'infinit - Cada direcció determina un punt a l'infinit

Això simplifica l'enunciat de teoremes: "dues rectes es tallen" sempre és cert.

## 7. Còniques projectives

### 7.1 Definició

Una cònica en $\mathbb{P}^2$ és el conjunt de punts que satisfan una equació homogènia de segon grau: $$ax^2 + bxy + cy^2 + dxz + eyz + fz^2 = 0.$$

En notació matricial: $X^TQX=0$ amb $Q$ simètrica $3\times 3$.

### 7.2 Propietats

- Totes les còniques no degenerades són equivalents per projectivitats (no hi ha distinció projectiva entre el·lipse i hipèrbola). - Una recta talla una cònica en 2 punts comptant multiplicitats (teorema de Bézout en el cas simple). - La polaritat associada a una cònica defineix una dualitat punt↔recta.

### 7.3 Tangència

La recta tangent a la cònica $X^TQX=0$ en un punt $P$ ve donada per: $$P^TQX = 0.$$

(equació polaritzada).

## 8. Teoremes clàssics

### 8.1 Teorema de Desargues

Si dos triangles són en perspectiva des d'un punt (les rectes que uneixen vèrtexs corresponents concurrents), llavors els punts d'intersecció de costats corresponents són col·lineals (i recíproc en el pla projectiu desarguesià).

### 8.2 Teorema de Pappus

Donats dos triples de punts sobre dues rectes, els punts d'intersecció creuats són col·lineals. És bàsic per caracteritzar plans projectius coordinatitzables.

## 9. Aplicacions

- **Perspectiva i dibuix:** línia d'horitzó com a recta a l'infinit. - **Visió per computador:** càlcul d'homografies (projectivitats) entre plans d'imatge. - **Geometria algebraica:** compactificació afegint punts a l'infinit; tractament uniforme de singularitats.

## 10. Conclusions

L'espai projectiu $\mathbb{P}^n$ s'obté identificant vectors no nuls de $\mathbb{R}^{n+1}$ fins a escala, i proporciona coordenades homogènies. El paral·lelisme desapareix en incorporar punts a l'infinit. Les projectivitats formen el grup $PGL(n+1)$ i preserven l'invariant fonamental: la raó doble. Les còniques projectives i la dualitat mostren la potència unificadora d'aquest llenguatge.