Aplicacions lineals. Espai dual

📋 RESUM: Aplicacions lineals i espai dual • **Aplicació lineal:** $f: V \to W$ que satisfà $f(\lambda u + \mu v) = \lambda f(u) + \mu f(v)$. Queda determinada pels valors sobre una base. • **Nucli i imatge:** $\ker(f) = \{v : f(v) = 0\}$ (subespai de V), $\text{Im}(f) = \{f(v) : v \in V\}$ (subespai de W) • **Teorema rang-nul·litat:** $\dim(\ker f) + \dim(\text{Im} f) = \dim(V)$ • **Matriu associada:** Columnes = coordenades de $f(e_j)$ en la base d'arribada. $[f(v)]_{B'} = M \cdot [v]_B$ • **Isomorfisme:** Aplicació lineal bijectiva. Dos espais són isomorfs ⟺ mateixa dimensió • **Espai dual:** $V^* = \mathcal{L}(V, K)$ = formes lineals. $\dim(V^*) = \dim(V)$ • **Base dual:** $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (1 si i=j, 0 altrament) • **Bidual:** $V^{**}$ isomorf canònicament a $V$ (reflexivitat en dimensió finita) • **Aplicació dual:** $f^*: W^* \to V^*$ definida per $f^*(\psi) = \psi \circ f$. Matriu = transposada