Espais mètrics. Propietats

📋 RESUM: Espais mètrics • **Definició:** $(X, d)$ amb $d$ satisfent: no negativitat, $d(x,y)=0 ⟺ x=y$, simetria, desigualtat triangular • **Exemples:** $(\mathbb{R}^n, d_2)$ euclidià, mètrica del taxista $d_1$, del màxim $d_\infty$, discreta • **Topologia:** Boles $B(a,r) = \{x : d(x,a) < r\}$. Oberts = unions de boles • **Convergència:** $x_n \to x ⟺ d(x_n, x) \to 0$ • **Continuïtat:** $\varepsilon-\delta$ o preimatge d'oberts és obert • **Completesa:** Tota successió de Cauchy convergeix. $\mathbb{R}$, $\mathbb{R}^n$, $\mathcal{C}[a,b]$ són complets • **Compacitat:** Tot recobriment per oberts té subrecobriment finit. En $\mathbb{R}^n$: compacte ⟺ tancat i fitat • **Teorema de Banach:** En espai complet, tota contracció té únic punt fix