📋 RESUM: Funcions de diverses variables i derivades parcials
**Topologia de ℝⁿ:**
• Norma: ‖x‖ = √(Σxᵢ²), distància, boles obertes
• Conjunts: obert, tancat, compacte (tancat i fitat), connex
**Límits:**
• El límit ha de ser únic per tots els camins
• Límits iterats iguals NO garanteixen existència del límit
• Tècnica: polars per demostrar existència
**Derivades parcials:**
• ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(a+h,b) - f(a,b)]/h
• Teorema de Schwarz: fxy = fyx (si contínues)
**Gradient:**
• ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...) — direcció de màxim creixement
• Perpendicular a corbes de nivell
**Derivada direccional:** Du f = ∇f · u
**Regla de la cadena:** dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
**Derivació implícita:** dy/dx = -Fx/Fy
**Important:** Existència de derivades parcials ≠ continuïtat
Desarrollo del tema
# FUNCIONS DE DIVERSES VARIABLES REALS. DERIVADES PARCIALS
## 1. Introducció
Les **funcions de diverses variables** estenen el càlcul d'una variable a contextos més generals. La majoria de fenòmens físics depenen de múltiples paràmetres: temperatura, pressió, posició, temps... Les **derivades parcials** permeten estudiar com varia la funció respecte a cada variable per separat.
## 2. Espai Euclidià $\mathbb{R}^n$
### 2.1 Definicions bàsiques
L'**espai euclidià** $\mathbb{R}^n$ és el conjunt de n-tuples ordenades:
$$\mathbb{R}^n = \{(x_1, x_2, \ldots, x_n) : x_i \in \mathbb{R}\}$$
**Bola oberta** de centre $\mathbf{a}$ i radi $r$:
$$B(\mathbf{a}, r) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : \|\mathbf{x} - \mathbf{a}\| < r\}$$
**Punt interior:** $\mathbf{a}$ és interior a $A$ si existeix $r > 0$ tal que $B(\mathbf{a}, r) \subseteq A$
**Conjunt obert:** Tot punt és interior
**Conjunt tancat:** El seu complementari és obert
**Punt adherent:** Tot entorn conté punts de $A$
**Clausura:** $\bar{A}$ = conjunt de punts adherents
**Frontera:** $\partial A = \bar{A} \setminus \text{int}(A)$
**Conjunt fitat:** Contingut en alguna bola
**Conjunt compacte:** Tancat i fitat (en $\mathbb{R}^n$)
**Conjunt connex:** No es pot separar en dos oberts disjunts no buits
## 3. Funcions de Diverses Variables
### 3.1 Definició
Una **funció de $n$ variables** és una aplicació:
$$f: D \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$
$$(x_1, x_2, \ldots, x_n) \mapsto f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$
El **gradient** de $f$ és el vector de derivades parcials:
$$\nabla f = \text{grad } f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)$$
Per a $f(x,y)$: $\nabla f = (f_x, f_y)$
### 6.2 Propietats
- $\nabla f$ apunta en la direcció de **màxim creixement** de $f$
- $\|\nabla f\|$ és la **taxa màxima de variació**
- $\nabla f$ és **perpendicular** a les corbes/superfícies de nivell
## 7. Derivada Direccional
### 7.1 Definició
La **derivada direccional** de $f$ en la direcció del vector unitari $\mathbf{u}$:
$$D_{\mathbf{u}} f(\mathbf{a}) = \lim_{t \to 0} \frac{f(\mathbf{a} + t\mathbf{u}) - f(\mathbf{a})}{t}$$
### 7.2 Fórmula amb el gradient
Si $f$ és diferenciable:
$$D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = \|\nabla f\| \cos\theta$$
on $\theta$ és l'angle entre $\nabla f$ i $\mathbf{u}$.
**Conseqüències:**
- Màxim en direcció de $\nabla f$: $D_{\nabla f/\|\nabla f\|} f = \|\nabla f\|$
- Mínim en direcció oposada: $D_{-\nabla f/\|\nabla f\|} f = -\|\nabla f\|$
- Zero perpendicular al gradient (tangent a corba de nivell)
Aquesta funció té $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$, però no és contínua a l'origen.
La condició que garanteix continuïtat és la **diferenciabilitat** (tema següent).
## 11. Conclusions
Les funcions de diverses variables i les derivades parcials són fonamentals per descriure fenòmens multidimensionals. El gradient sintetitza la informació de totes les derivades parcials i indica la direcció de màxim creixement. La regla de la cadena permet calcular derivades de funcions compostes. Cal tenir present que l'existència de derivades parcials és una condició més feble que la continuïtat.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
