📋 RESUM: Funcions de diverses variables i derivades parcials
**Topologia de ℝⁿ:**
• Norma: ‖x‖ = √(Σxᵢ²), distància, boles obertes
• Conjunts: obert, tancat, compacte (tancat i fitat), connex
**Límits:**
• El límit ha de ser únic per tots els camins
• Límits iterats iguals NO garanteixen existència del límit
• Tècnica: polars per demostrar existència
**Derivades parcials:**
• ∂f/∂x = lim_{h→0} [f(a+h,b) - f(a,b)]/h
• Teorema de Schwarz: fxy = fyx (si contínues)
**Gradient:**
• ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ...) — direcció de màxim creixement
• Perpendicular a corbes de nivell
**Derivada direccional:** Du f = ∇f · u
**Regla de la cadena:** dz/dt = (∂f/∂x)(dx/dt) + (∂f/∂y)(dy/dt)
**Derivació implícita:** dy/dx = -Fx/Fy
**Important:** Existència de derivades parcials ≠ continuïtat
OPOSGRATIS