T54. Variable aleatòria discreta

Desarrollo del tema

# VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT

## 1. Introducció

En l'estudi de fenòmens aleatoris, sovint ens interessa assignar valors numèrics als resultats d'un experiment. Una **variable aleatòria** és una funció que assigna un nombre real a cada resultat de l'espai mostral. Quan aquesta variable pren un conjunt finit o numerable de valors, es diu **discreta**. Les distribucions de probabilitat discretes modelen fenòmens com el llançament de daus, el nombre de defectes en una producció o el nombre de trucades a una centraleta.

## 2. Conceptes Fonamentals

### 2.1 Definició de variable aleatòria

Sigui $\Omega$ l'espai mostral d'un experiment aleatori. Una **variable aleatòria** $X$ és una funció: $$X: \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$$

que assigna a cada resultat $\omega \in \Omega$ un nombre real $X(\omega)$.

### 2.2 Variable aleatòria discreta

Una variable aleatòria és **discreta** si el seu conjunt de valors possibles $\{x_1, x_2, x_3, \ldots\}$ és finit o numerable.

**Exemples:** - Nombre de cares en 3 llançaments d'una moneda: $X \in \{0, 1, 2, 3\}$ - Nombre d'intents fins encertar: $X \in \{1, 2, 3, \ldots\}$

### 2.3 Funció de probabilitat (funció de massa)

La **funció de probabilitat** (o funció de massa) assigna a cada valor $x_i$ la seva probabilitat: $$P(X = x_i) = p_i \quad \text{o simplement} \quad p(x_i) = p_i$$

**Propietats:** 1. $p_i \geq 0$ per a tot $i$ 2. $\sum_{i} p_i = 1$

### 2.4 Funció de distribució acumulada

La **funció de distribució** $F(x)$ dóna la probabilitat que $X$ prengui un valor menor o igual a $x$: $$F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_i$$

**Propietats:** 1. $0 \leq F(x) \leq 1$ 2. $F$ és no decreixent 3. $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ i $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$ 4. Per a variables discretes, $F$ és una funció escalonada

## 3. Esperança Matemàtica i Variància

### 3.1 Esperança (valor esperat, mitjana)

L'**esperança matemàtica** o valor esperat és: $$E[X] = \mu = \sum_{i} x_i \cdot p_i$$

**Propietats:** 1. $E[c] = c$ per a qualsevol constant 2. $E[aX + b] = aE[X] + b$ (linealitat) 3. $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ (additivitat) 4. Si $X, Y$ independents: $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$

### 3.2 Esperança de funcions de X

Per a una funció $g(X)$: $$E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i) \cdot p_i$$

### 3.3 Variància

La **variància** mesura la dispersió al voltant de l'esperança: $$\text{Var}(X) = \sigma^2 = E[(X - \mu)^2] = \sum_{i} (x_i - \mu)^2 \cdot p_i$$

**Fórmula alternativa (de König):** $$\sigma^2 = E[X^2] - (E[X])^2$$

**Propietats:** 1. $\text{Var}(c) = 0$ 2. $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$ 3. Si $X, Y$ independents: $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$

### 3.4 Desviació típica

$$\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$$

## 4. Distribució de Bernoulli

### 4.1 Definició

Model per a experiments amb només dos resultats possibles: èxit (1) o fracàs (0).

$$X \sim \text{Bernoulli}(p)$$

- $P(X = 1) = p$ (probabilitat d'èxit) - $P(X = 0) = 1 - p = q$

### 4.2 Paràmetres

- $E[X] = p$ - $\text{Var}(X) = p(1-p) = pq$

## 5. Distribució Binomial

### 5.1 Definició

Nombre d'èxits en $n$ assajos de Bernoulli independents amb probabilitat d'èxit $p$.

$$X \sim B(n, p)$$

### 5.2 Funció de probabilitat

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, \ldots, n$$

### 5.3 Paràmetres

- $E[X] = np$ - $\text{Var}(X) = np(1-p) = npq$ - $\sigma = \sqrt{npq}$

### 5.4 Propietat reproductiva

Si $X \sim B(n, p)$ i $Y \sim B(m, p)$ independents, llavors: $$X + Y \sim B(n + m, p)$$

### 5.5 Exemples

- Nombre de cares en 10 llançaments d'una moneda: $B(10, 0.5)$ - Nombre de peces defectuoses en un lot de 20 amb taxa 5%: $B(20, 0.05)$

## 6. Distribució de Poisson

### 6.1 Definició

Model per comptar el nombre d'esdeveniments que ocorren en un interval fix de temps o espai, quan: - Els esdeveniments són independents - La taxa mitjana $\lambda$ és constant - No poden ocórrer dos esdeveniments simultàniament

$$X \sim \text{Poisson}(\lambda)$$

### 6.2 Funció de probabilitat

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

### 6.3 Paràmetres

- $E[X] = \lambda$ - $\text{Var}(X) = \lambda$

**Nota:** En Poisson, mitjana = variància.

### 6.4 Propietat reproductiva

Si $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$ i $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$ independents: $$X + Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$$

### 6.5 Aproximació de la binomial

Quan $n$ és gran i $p$ és petit ($n \geq 30$, $p \leq 0.1$, $np \leq 10$): $$B(n, p) \approx \text{Poisson}(\lambda = np)$$

### 6.6 Exemples

- Nombre de trucades per hora a una centraleta - Nombre d'errors tipogràfics per pàgina - Nombre de desintegracions radioactives per segon

## 7. Distribució Geomètrica

### 7.1 Definició

Nombre d'assajos de Bernoulli fins obtenir el primer èxit.

$$X \sim \text{Geom}(p)$$

### 7.2 Funció de probabilitat

$$P(X = k) = (1-p)^{k-1} p, \quad k = 1, 2, 3, \ldots$$

(Nota: Algunes fonts defineixen $X$ com el nombre de fracassos abans del primer èxit, llavors $P(X = k) = (1-p)^k p$ per $k = 0, 1, 2, \ldots$)

### 7.3 Paràmetres

- $E[X] = 1/p$ - $\text{Var}(X) = (1-p)/p^2 = q/p^2$

### 7.4 Propietat de manca de memòria

$$P(X > m + n \mid X > m) = P(X > n)$$

El passat no influeix en el futur.

## 8. Distribució Binomial Negativa

### 8.1 Definició

Nombre d'assajos fins obtenir $r$ èxits.

$$X \sim \text{BN}(r, p)$$

### 8.2 Funció de probabilitat

$$P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}, \quad k = r, r+1, \ldots$$

### 8.3 Paràmetres

- $E[X] = r/p$ - $\text{Var}(X) = r(1-p)/p^2$

## 9. Distribució Hipergeomètrica

### 9.1 Definició

Nombre d'èxits en una mostra **sense reposició** de $n$ elements d'una població de $N$ elements amb $K$ èxits.

$$X \sim H(N, K, n)$$

### 9.2 Funció de probabilitat

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

on $\max(0, n-N+K) \leq k \leq \min(n, K)$.

### 9.3 Paràmetres

- $E[X] = n \cdot K/N$ - $\text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$

### 9.4 Aproximació

Quan $n/N < 0.05$ (mostra petita respecte a la població): $$H(N, K, n) \approx B(n, K/N)$$

## 10. Funció Generatriu de Moments

La **funció generatriu de moments** (fgm) és: $$M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{i} e^{tx_i} p_i$$

**Utilitat:** Permet calcular moments: $$E[X^n] = M_X^{(n)}(0)$$

## 11. Taula Resum de Distribucions Discretes

| Distribució | Notació | E[X] | Var(X) | |-------------|---------|------|--------| | Bernoulli | Ber(p) | p | pq | | Binomial | B(n,p) | np | npq | | Poisson | Po(λ) | λ | λ | | Geomètrica | Geom(p) | 1/p | q/p² | | Binomial negativa | BN(r,p) | r/p | rq/p² | | Hipergeomètrica | H(N,K,n) | nK/N | ... |

## 12. Aplicacions Didàctiques

### 12.1 Al Batxillerat

- Binomial: problemes de control de qualitat, enquestes - Poisson: fenòmens rars (accidents, defectes) - Taules i calculadora per a probabilitats - Simulació amb fulls de càlcul

## 13. Conclusions

Les distribucions discretes modelen una àmplia varietat de fenòmens aleatoris de comptatge. La binomial és el model fonamental per a experiments repetits, mentre que Poisson és ideal per a esdeveniments rars. La geomètrica i la binomial negativa modelen temps d'espera, i la hipergeomètrica és essencial quan el mostreig és sense reposició.