T67. Metodologia de resolució de problemes

Desarrollo del tema

# METODOLOGIA DE RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

## 1. Importància de la resolució de problemes

La resolució de problemes és alhora **objecte** i **mitjà** d’aprenentatge matemàtic. Permet desenvolupar:

- comprensió conceptual - estratègies i heurístiques - comunicació i argumentació - creativitat i perseverança

## 2. Què és un “problema”?

Un problema és una tasca en què el camí de resolució **no és immediat** per a l’alumnat i requereix prendre decisions.

Diferència amb exercici:

- **Exercici**: aplicació rutinària d’un procediment conegut. - **Problema**: cal explorar, modelitzar, triar estratègies i justificar.

## 3. Heurístiques clàssiques (Polya)

George Pólya proposa quatre fases:

1. **Entendre el problema** (dades, incògnita, condicions) 2. **Dissenyar un pla** (estratègia) 3. **Executar el pla** (càlculs, raonament) 4. **Revisar** (comprovar, generalitzar, reflexionar)

Heurístiques habituals:

- fer un dibuix - buscar patrons - provar casos simples - treballar enrere - canviar de representació - introduir una variable - descompondre el problema

## 4. Modelització i problemes contextuals

En problemes reals cal:

- definir variables i unitats - establir hipòtesis - validar si el resultat és raonable

Exemple de modelització lineal: si una magnitud depèn proporcionalment de $x$,

$$y = kx$$

però en contextos reals pot aparèixer terme independent:

$$y = ax + b$$

## 5. Estratègies de resolució

### 5.1. Estratègies algebraiques

- plantejar equacions i sistemes - ús d’identitats - inequacions i estimacions

### 5.2. Estratègies geomètriques

- figures auxiliars - simetries, invariants - transformacions

### 5.3. Estratègies combinatòries/probabilístiques

- recompte sistemàtic - arbre de possibilitats - principi del complement

## 6. Paper del docent

El docent actua com a mediador:

- proposa tasques amb nivell adequat de repte - facilita preguntes guia (sense donar la solució) - promou posada en comú d’estratègies - valora justificacions i no només resultats

## 7. Avaluació en resolució de problemes

S’ha de valorar:

- comprensió del problema - adequació de l’estratègia - correcció del raonament - comunicació (explicació, notació) - revisió i validació

Es poden usar rúbriques i observació de processos.

## 8. Aplicacions a ESO i Batxillerat

- Rutines d’aula: “problema del dia”, estimacions, discussió de solucions. - Batxillerat: problemes d’optimització, probabilitat i integrals amb interpretació.

## 9. Conclusions

Una metodologia centrada en problemes fomenta autonomia, pensament crític i transferència. Les heurístiques (Polya) ajuden a sistematitzar l’activitat matemàtica.