📋 RESUM: Interpolació i aproximació
• **Interpolació**: trobar $p(x)$ tal que $p(x_i)=y_i$; en $\mathbb{P}_n$ és única.
• **Lagrange**: $p(x)=\sum y_i L_i(x)$ amb $L_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$.
• **Newton**: forma incremental amb diferències dividides; fàcil afegir punts.
• **Error d’interpolació**: $f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod (x-x_i)$.
• **Runge**: nodes equiespaiats + grau alt → oscil·lacions als extrems.
• **Nodes de Txebixev**: $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)}$ minimitzen oscil·lacions.
• **Splines cúbics**: polinomis per trams amb continuïtat de $S,S',S''$; més estables.
• **Aproximació (mínims quadrats)**: minimitzar $\sum (y_i-q(x_i))^2$; en ajust lineal s'obtenen equacions normals.
• **Relació amb regressió**: pendent $b=\frac{\sum (x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum (x-\bar x)^2}$.
• **Taylor**: aproximació local i control d’error amb terme de Lagrange.
Desarrollo del tema
# INTERPOLACIÓ I APROXIMACIÓ
## 1. Introducció
En moltes situacions disposem d'un conjunt finit de dades (mesures experimentals, valors tabulats d'una funció) i necessitem:
- **Interpolar:** trobar una funció que passi exactament pels punts donats.
- **Aproximar:** trobar una funció que s'ajusti “bé” a les dades quan hi ha error o soroll.
La interpolació és clau per calcular valors intermedis, construir taules, aproximar funcions complexes i servir de base per a mètodes numèrics d'integració i derivació.
## 2. Plantejament del problema d'interpolació
Donats $n+1$ punts amb abscisses diferents:
$$ (x_0,y_0),\,(x_1,y_1),\,\ldots,\,(x_n,y_n)$$
amb $x_i\ne x_j$ si $i\ne j$, volem trobar una funció $p(x)$ tal que:
$$p(x_i)=y_i\quad (i=0,\ldots,n)$$
on
$$\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$$
i $\xi_x\in(a,b)$ depèn de $x$.
Conseqüències:
- L'error depèn de la derivada d'ordre $n+1$.
- L'elecció de nodes $x_i$ és crucial (fenomen de Runge).
## 6. Fenomen de Runge i nodes de Txebixev
Interpolar amb polinomis de grau alt en nodes equiespaiats pot donar grans oscil·lacions als extrems.
**Nodes de Txebixev** en $[-1,1]$:
$$x_k=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)}\right),\quad k=0,\ldots,n$$
Minimitzen l'error màxim (en un sentit) i redueixen oscil·lacions.
## 7. Interpolació per splines
### 7.1 Motivació
En lloc d'un polinomi global de grau alt, s'utilitzen polinomis de grau baix per trams, amb suavitat en els punts d'unió.
### 7.2 Spline cúbic
Un **spline cúbic** és una funció $S(x)$ tal que:
- En cada interval $[x_i,x_{i+1}]$, $S$ és un polinomi cúbic.
- $S$, $S'$ i $S''$ són contínues a tot l'interval.
Condicions de contorn habituals:
- **Natural:** $S''(x_0)=S''(x_n)=0$
- **Clamped:** es fixen $S'(x_0)$ i $S'(x_n)$
Avantatge: interpolació estable i suau, molt usada en gràfics i CAD.
## 8. Aproximació per mínims quadrats
### 8.1 Idea
Donats punts $(x_i,y_i)$ amb possible soroll, busquem una funció $q(x)$ que minimitzi:
$$\sum_{i=1}^{m} (y_i-q(x_i))^2$$
Això dona l'**ajust per mínims quadrats**.
### 8.2 Ajust lineal
Si $q(x)=a+bx$, minimitzar:
$$S(a,b)=\sum (y_i-a-bx_i)^2$$
Porta a les equacions normals:
$$\begin{cases}
ma+b\sum x_i=\sum y_i\\
a\sum x_i+b\sum x_i^2=\sum x_i y_i
\end{cases}$$
Si $q(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$, el problema esdevé un sistema lineal (matriu de Vandermonde) resoluble numèricament.
## 9. Aproximació per sèries de Taylor (noció)
Si $f$ és derivable, podem aproximar a prop de $a$:
$$f(x)\approx \sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j$$
Error (terme de Lagrange):
$$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$
Aquesta aproximació local està relacionada amb interpolació quan els nodes col·lapsen.
## 10. Aplicacions
- Taules trigonomètriques i funcions especials.
- Reescalat d'imatges (interpolació).
- Trajectòries suaus (splines) en robòtica i gràfics.
- Ajust de dades experimentals (mínims quadrats).
## 11. Aplicacions didàctiques
- Interpolar punts coneguts amb GeoGebra.
- Mostrar Runge amb nodes equiespaiats vs Txebixev.
- Connectar amb funcions i derivades: paper de $f^{(n+1)}$ en l'error.
- Projectes amb dades reals: ajust lineal/polinòmic i interpretació.
## 12. Conclusions
La interpolació construeix funcions que passen pels punts; Lagrange i Newton són formulacions equivalents del polinomi interpolador. L'error depèn tant de la regularitat de la funció com de l'elecció dels nodes. En pràctica, els **splines** ofereixen estabilitat i suavitat. Quan les dades tenen soroll, l'aproximació per **mínims quadrats** és l'eina adequada.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
