T59. Interpolació. Aproximació

Desarrollo del tema

# INTERPOLACIÓ I APROXIMACIÓ

## 1. Introducció

En moltes situacions disposem d'un conjunt finit de dades (mesures experimentals, valors tabulats d'una funció) i necessitem:

- **Interpolar:** trobar una funció que passi exactament pels punts donats. - **Aproximar:** trobar una funció que s'ajusti “bé” a les dades quan hi ha error o soroll.

La interpolació és clau per calcular valors intermedis, construir taules, aproximar funcions complexes i servir de base per a mètodes numèrics d'integració i derivació.

## 2. Plantejament del problema d'interpolació

Donats $n+1$ punts amb abscisses diferents: $$ (x_0,y_0),\,(x_1,y_1),\,\ldots,\,(x_n,y_n)$$

amb $x_i\ne x_j$ si $i\ne j$, volem trobar una funció $p(x)$ tal que: $$p(x_i)=y_i\quad (i=0,\ldots,n)$$

Si busquem $p$ dins l'espai de polinomis de grau $\le n$, existeix i és únic.

**Teorema (unicitat):** Hi ha un únic polinomi interpolador $p\in\mathbb{P}_n$ que passa pels $n+1$ punts.

## 3. Polinomi interpolador de Lagrange

### 3.1 Base de Lagrange

Definim els polinomis bàsics: $$L_i(x)=\prod_{\substack{j=0\\ j\ne i}}^{n}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$$

Propietat clau: $$L_i(x_k)=\delta_{ik}=\begin{cases}1 & i=k\\0 & i\ne k\end{cases}$$

### 3.2 Polinomi de Lagrange

El polinomi interpolador és: $$p(x)=\sum_{i=0}^{n} y_i\,L_i(x)$$

**Avantatge:** fórmula explícita. **Inconvenient:** recalcular si s'afegeix un nou punt.

## 4. Interpolació de Newton (diferències dividides)

### 4.1 Diferències dividides

Definim: $$f[x_i]=y_i$$

$$f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f[x_{i+1}]-f[x_i]}{x_{i+1}-x_i}$$

$$f[x_i,\ldots,x_{i+k}] = \frac{f[x_{i+1},\ldots,x_{i+k}] - f[x_i,\ldots,x_{i+k-1}]}{x_{i+k}-x_i}$$

### 4.2 Forma de Newton

$$p(x)=a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + \cdots + a_n\prod_{j=0}^{n-1}(x-x_j)$$

On $a_k=f[x_0,\ldots,x_k]$.

**Avantatge:** si afegim un punt nou, només cal afegir un terme.

## 5. Error d'interpolació

Si $f\in C^{n+1}([a,b])$, l'error en un punt $x$ és:

$$f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}\,\omega_{n+1}(x)$$

on $$\omega_{n+1}(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)$$ i $\xi_x\in(a,b)$ depèn de $x$.

Conseqüències: - L'error depèn de la derivada d'ordre $n+1$. - L'elecció de nodes $x_i$ és crucial (fenomen de Runge).

## 6. Fenomen de Runge i nodes de Txebixev

Interpolar amb polinomis de grau alt en nodes equiespaiats pot donar grans oscil·lacions als extrems.

**Nodes de Txebixev** en $[-1,1]$: $$x_k=\cos\left(\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)}\right),\quad k=0,\ldots,n$$

Minimitzen l'error màxim (en un sentit) i redueixen oscil·lacions.

## 7. Interpolació per splines

### 7.1 Motivació

En lloc d'un polinomi global de grau alt, s'utilitzen polinomis de grau baix per trams, amb suavitat en els punts d'unió.

### 7.2 Spline cúbic

Un **spline cúbic** és una funció $S(x)$ tal que: - En cada interval $[x_i,x_{i+1}]$, $S$ és un polinomi cúbic. - $S$, $S'$ i $S''$ són contínues a tot l'interval.

Condicions de contorn habituals: - **Natural:** $S''(x_0)=S''(x_n)=0$ - **Clamped:** es fixen $S'(x_0)$ i $S'(x_n)$

Avantatge: interpolació estable i suau, molt usada en gràfics i CAD.

## 8. Aproximació per mínims quadrats

### 8.1 Idea

Donats punts $(x_i,y_i)$ amb possible soroll, busquem una funció $q(x)$ que minimitzi: $$\sum_{i=1}^{m} (y_i-q(x_i))^2$$

Això dona l'**ajust per mínims quadrats**.

### 8.2 Ajust lineal

Si $q(x)=a+bx$, minimitzar: $$S(a,b)=\sum (y_i-a-bx_i)^2$$

Porta a les equacions normals: $$\begin{cases} ma+b\sum x_i=\sum y_i\\ a\sum x_i+b\sum x_i^2=\sum x_i y_i \end{cases}$$

Solució: $$b=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2},\quad a=\bar{y}-b\bar{x}$$

(Relació directa amb regressió lineal.)

### 8.3 Aproximació polinòmica

Si $q(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_kx^k$, el problema esdevé un sistema lineal (matriu de Vandermonde) resoluble numèricament.

## 9. Aproximació per sèries de Taylor (noció)

Si $f$ és derivable, podem aproximar a prop de $a$: $$f(x)\approx \sum_{j=0}^{n}\frac{f^{(j)}(a)}{j!}(x-a)^j$$

Error (terme de Lagrange): $$R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$

Aquesta aproximació local està relacionada amb interpolació quan els nodes col·lapsen.

## 10. Aplicacions

- Taules trigonomètriques i funcions especials. - Reescalat d'imatges (interpolació). - Trajectòries suaus (splines) en robòtica i gràfics. - Ajust de dades experimentals (mínims quadrats).

## 11. Aplicacions didàctiques

- Interpolar punts coneguts amb GeoGebra. - Mostrar Runge amb nodes equiespaiats vs Txebixev. - Connectar amb funcions i derivades: paper de $f^{(n+1)}$ en l'error. - Projectes amb dades reals: ajust lineal/polinòmic i interpretació.

## 12. Conclusions

La interpolació construeix funcions que passen pels punts; Lagrange i Newton són formulacions equivalents del polinomi interpolador. L'error depèn tant de la regularitat de la funció com de l'elecció dels nodes. En pràctica, els **splines** ofereixen estabilitat i suavitat. Quan les dades tenen soroll, l'aproximació per **mínims quadrats** és l'eina adequada.