Interpolació. Aproximació

📋 RESUM: Interpolació i aproximació • **Interpolació**: trobar $p(x)$ tal que $p(x_i)=y_i$; en $\mathbb{P}_n$ és única. • **Lagrange**: $p(x)=\sum y_i L_i(x)$ amb $L_i(x)=\prod_{j\ne i}(x-x_j)/(x_i-x_j)$. • **Newton**: forma incremental amb diferències dividides; fàcil afegir punts. • **Error d’interpolació**: $f(x)-p(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\prod (x-x_i)$. • **Runge**: nodes equiespaiats + grau alt → oscil·lacions als extrems. • **Nodes de Txebixev**: $x_k=\cos\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)}$ minimitzen oscil·lacions. • **Splines cúbics**: polinomis per trams amb continuïtat de $S,S',S''$; més estables. • **Aproximació (mínims quadrats)**: minimitzar $\sum (y_i-q(x_i))^2$; en ajust lineal s'obtenen equacions normals. • **Relació amb regressió**: pendent $b=\frac{\sum (x-\bar x)(y-\bar y)}{\sum (x-\bar x)^2}$. • **Taylor**: aproximació local i control d’error amb terme de Lagrange.