T60. Mètodes numèrics per a la derivació i integració

Desarrollo del tema

# MÈTODES NUMÈRICS PER A LA DERIVACIÓ I LA INTEGRACIÓ

## 1. Introducció

En la pràctica sovint disposem de funcions complicades o de valors tabulats (dades experimentals) i necessitem calcular derivades o integrals. Quan no és possible (o no és eficient) fer-ho exactament, recorrem a **mètodes numèrics**.

Aquest tema tracta: - **Derivació numèrica:** aproximar $f'(x)$ o derivades superiors. - **Integració numèrica (quadratura):** aproximar $\int_a^b f(x)\,dx$.

## 2. Derivació numèrica

### 2.1 Diferències finites

Partim del desenvolupament de Taylor: $$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)+\cdots$$ $$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\frac{h^2}{2}f''(x)-\cdots$$

Combinant aquestes expansions obtenim fórmules d'aproximació.

### 2.2 Diferència progressiva (endavant)

$$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

**Error de truncament:** $O(h)$ (ordre 1).

Derivació: de Taylor, $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)+\frac{h}{2}f''(\xi)$$

### 2.3 Diferència regressiva (enrere)

$$f'(x)\approx \frac{f(x)-f(x-h)}{h}$$

També té error $O(h)$.

### 2.4 Diferència centrada

Restant les expansions de $f(x+h)$ i $f(x-h)$:

$$f'(x)\approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$

**Error de truncament:** $O(h^2)$ (ordre 2), molt més precisa.

Més exactament: $$\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=f'(x)+\frac{h^2}{6}f^{(3)}(\xi)$$

### 2.5 Segona derivada

Sumant $f(x+h)$ i $f(x-h)$ i eliminant $f'(x)$:

$$f''(x)\approx \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}$$

**Error:** $O(h^2)$.

### 2.6 Elecció del pas h i errors

Hi ha dos tipus d'error: - **Truncament:** disminueix quan h baixa. - **Arrodoniment:** augmenta quan h és massa petit (cancel·lació numèrica en restes de nombres propers).

Per tant, existeix un **h òptim** que equilibra ambdós errors.

## 3. Integració numèrica (quadratures)

Volem aproximar: $$I=\int_a^b f(x)\,dx$$

En general dividim l'interval en subintervals amb pas: $$h=\frac{b-a}{n}$$ amb nodes $x_i=a+ih$.

## 4. Regla del rectangle

### 4.1 Rectangle esquerre

$$\int_a^b f(x)\,dx\approx h\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$$

### 4.2 Rectangle dret

$$\int_a^b f(x)\,dx\approx h\sum_{i=1}^{n} f(x_i)$$

**Error global:** $O(h)$ si $f$ és regular.

## 5. Regla del trapezi

Aproxima $f$ per interpolació lineal en cada interval:

$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{h}{2}\left[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)+f(x_n)\right]$$

**Error global:** $O(h^2)$.

**Error teòric (una sola aplicació):** $$E_T= -\frac{(b-a)^3}{12}f''(\xi)$$

**Error compost:** $$E_T^{(n)}= -\frac{(b-a)}{12}h^2 f''(\xi)$$

## 6. Regla de Simpson (1/3)

Aproxima $f$ per un polinomi de grau 2 en parelles d'intervals. Requereix $n$ parell.

$$\int_a^b f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{i\ \text{imparell}} f(x_i)+2\sum_{i\ \text{parell},\ i\ne 0,n} f(x_i)+f(x_n)\right]$$

**Error global:** $O(h^4)$.

**Error teòric (una sola aplicació):** $$E_S= -\frac{(b-a)^5}{180}f^{(4)}(\xi)$$

**Observació:** Simpson és exacta per a polinomis fins a grau 3.

## 7. Regla de Simpson 3/8 (apunt)

Usa polinomi de grau 3 en blocs de 3 intervals (n múltiple de 3): $$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{3h}{8}[f_0+3f_1+3f_2+f_3]$$ (i en versió composta amb pesos 3 i 2).

## 8. Quadratures de Gauss (idea)

Les quadratures de Gauss escullen nodes i pesos òptims per maximitzar el grau d'exactitud. En $[-1,1]$: $$\int_{-1}^{1} f(x)dx \approx \sum_{i=1}^{m} w_i f(x_i)$$

Amb $m$ punts es pot ser exactes fins grau $2m-1$ per polinomis. Els nodes són arrels de polinomis de Legendre.

## 9. Extrapolació de Richardson i Romberg

Si un mètode dóna: $$I(h)=I + C h^p + O(h^{p+1})$$

combinant $I(h)$ i $I(h/2)$ podem eliminar el terme principal: $$I\approx \frac{2^p I(h/2)-I(h)}{2^p-1}$$

**Romberg** aplica aquesta idea al trapezi de manera iterativa, millorant molt la precisió.

## 10. Integració amb dades tabulades

Si només coneixem valors $f(x_i)$, el trapezi i Simpson són especialment útils perquè només demanen avaluacions en nodes.

També es poden usar splines per construir una aproximació suau i integrar el spline.

## 11. Comparació de mètodes

| Mètode | Cost (avaluacions) | Ordre global | Notes | |--------|---------------------|--------------|-------| | Rectangle | n | O(h) | molt senzill | | Trapezi compost | n+1 | O(h^2) | base de Romberg | | Simpson compost | n+1 (n parell) | O(h^4) | molt eficient | | Gauss m punts | m | molt alt | nodes òptims |

## 12. Aplicacions

- Càlcul de superfícies i volums en models. - Estimació de distància a partir de velocitat tabulada (integral). - Estimació de velocitat/acceleració a partir de posició tabulada (derivació). - Resolució d'equacions diferencials (pas intermedi: derivació/integració numèrica).

## 13. Aplicacions didàctiques

- Relacionar trapezi i Simpson amb interpolació (lineal/quadràtica). - Visualitzar errors amb GeoGebra o fulls de càlcul. - Treballar amb dades reals (p. ex. mesures de temperatura al llarg del dia). - Debatre la tria de pas $h$: precisió vs cost i arrodoniment.

## 14. Conclusions

La derivació numèrica es basa en diferències finites i és sensible a l'arrodoniment quan $h$ és massa petit. En integració, les regles compostes del trapezi i Simpson ofereixen un bon compromís entre simplicitat i precisió, amb ordres $O(h^2)$ i $O(h^4)$ respectivament. Mètodes més sofisticats com Gauss i Romberg milloren l'eficiència quan es requereix alta precisió.