T42. Moviments en el pla

Desarrollo del tema

# MOVIMENTS EN EL PLA. COMPOSICIONS I GRUP DE MOVIMENTS

## 1. Introducció

Els **moviments** en el pla són transformacions geomètriques que preserven les distàncies i, per tant, les formes i mides de les figures. Matemàticament, els moviments coincideixen amb les isometries. En aquest tema aprofundirem en la composició de moviments i l'estructura algebraica que en resulta: el **grup de moviments** del pla.

L'estudi sistemàtic dels moviments permet classificar patrons, entendre simetries i connectar la geometria amb l'àlgebra a través de la teoria de grups.

## 2. Moviments Fonamentals

### 2.1 Translació

La **translació** de vector $\vec{v} = (a, b)$ és: $$T_{\vec{v}}(x, y) = (x + a, y + b)$$

**Propietats:** - No té punts fixos (llevat que $\vec{v} = \vec{0}$) - Transforma rectes en rectes paral·leles - Conserva l'orientació - El conjunt de translacions forma un subgrup abelià

### 2.2 Rotació

La **rotació** de centre $C = (c_1, c_2)$ i angle $\theta$ s'expressa: $$R_{C,\theta}(x, y) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x - c_1 \\ y - c_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \end{pmatrix}$$

Per a rotació centrada a l'origen: $$R_\theta(x, y) = (x\cos\theta - y\sin\theta, x\sin\theta + y\cos\theta)$$

**Casos especials:** - $R_{90°}(x, y) = (-y, x)$ - $R_{180°}(x, y) = (-x, -y)$ (simetria central) - $R_{270°}(x, y) = (y, -x)$

### 2.3 Reflexió

La **reflexió** respecte a l'eix $x$: $S_x(x, y) = (x, -y)$

La **reflexió** respecte a l'eix $y$: $S_y(x, y) = (-x, y)$

Per a una recta $r$ que passa per l'origen formant angle $\alpha$ amb l'eix $x$: $$S_\alpha(x, y) = (x\cos 2\alpha + y\sin 2\alpha, x\sin 2\alpha - y\cos 2\alpha)$$

**Reflexió respecte a una recta general** $ax + by + c = 0$: $$S_r(P) = P - 2\frac{aP_x + bP_y + c}{a^2 + b^2}(a, b)$$

### 2.4 Simetria amb Lliscament

És la composició d'una reflexió respecte a una recta $r$ i una translació de vector paral·lel a $r$: $$G = T_{\vec{v}} \circ S_r, \quad \vec{v} \parallel r$$

**Exemple:** Petjades humanes alternades (peu dret - peu esquerre).

## 3. Composició de Moviments

### 3.1 Composició de Translacions

$$T_{\vec{v}} \circ T_{\vec{w}} = T_{\vec{v} + \vec{w}}$$

Les translacions formen un **grup abelià** (commutatiu).

### 3.2 Composició de Rotacions

**Mateix centre:** $R_{O,\alpha} \circ R_{O,\beta} = R_{O,\alpha + \beta}$

**Centres diferents:** La composició de dues rotacions $R_{A,\alpha}$ i $R_{B,\beta}$ és: - Una rotació d'angle $\alpha + \beta$ si $\alpha + \beta \neq 0 \pmod{2\pi}$ - Una translació si $\alpha + \beta = 0 \pmod{2\pi}$

**Trobar el centre:** Si $\alpha + \beta \neq 0$, el centre $C$ de $R_{B,\beta} \circ R_{A,\alpha}$ es troba a la intersecció de: - La mediatriu de $\overline{AA''}$ (on $A'' = R_{B,\beta}(R_{A,\alpha}(A))$) - O geomètricament: les rectes que formen angles $\alpha/2$ i $\beta/2$ amb $\overline{AB}$

### 3.3 Composició de Reflexions

**Teorema fonamental:**

1. **Eixos paral·lels** separats distància $d$: $$S_{r_2} \circ S_{r_1} = T_{\vec{v}}$$ on $\vec{v}$ és perpendicular als eixos amb $|\vec{v}| = 2d$.

2. **Eixos secants** formant angle $\alpha$: $$S_{r_2} \circ S_{r_1} = R_{P,2\alpha}$$ on $P$ és el punt d'intersecció.

### 3.4 Taula de Composicions

| Primera \ Segona | Translació | Rotació | Reflexió | |------------------|------------|---------|----------| | **Translació** | Translació | Rotació o Trans. | Simetria lliscament | | **Rotació** | Rotació o Trans. | Rotació o Trans. | Reflexió o Sim. llisc. | | **Reflexió** | Simetria lliscament | Reflexió o Sim. llisc. | Translació o Rotació |

## 4. El Grup de Moviments del Pla

### 4.1 Estructura de Grup

El conjunt de tots els moviments del pla, amb l'operació de composició, forma el **grup euclidià** $E(2)$ o $\text{Iso}(\mathbb{R}^2)$.

**Axiomes de grup verificats:** 1. **Clausura:** La composició de dos moviments és un moviment 2. **Associativitat:** $(f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h)$ 3. **Element neutre:** La identitat $\text{Id}$ 4. **Inversos:** Tot moviment $f$ té invers $f^{-1}$

### 4.2 Subgrups Importants

**Grup de translacions** $T$: - Isomorf a $(\mathbb{R}^2, +)$ - Subgrup normal de $E(2)$

**Grup de rotacions centrades a l'origen** $SO(2)$: - Isomorf a $(\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, +)$ o al cercle $S^1$ - Format per les matrius $\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

**Grup ortogonal** $O(2)$: - Rotacions + reflexions (respecte rectes per l'origen) - $|O(2) : SO(2)| = 2$

**Moviments directes** $E^+(2)$ o $SE(2)$: - Translacions + rotacions - Subgrup d'índex 2 de $E(2)$

### 4.3 Estructura de Producte Semidirecte

El grup euclidià té l'estructura: $$E(2) \cong \mathbb{R}^2 \rtimes O(2)$$

Cada element es pot escriure únicament com una translació seguida d'una transformació ortogonal.

## 5. Representació Matricial

### 5.1 Coordenades Homogènies

Per representar totes les isometries amb matrius, usem coordenades homogènies $(x, y, 1)$:

**Translació:** $$T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

**Rotació (centre origen):** $$R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

**Reflexió (eix $x$):** $$S_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

**Isometria general:** $$M = \begin{pmatrix} a & b & t_x \\ c & d & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ on $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in O(2)$.

### 5.2 Avantatges

- La composició de moviments correspon al producte de matrius - L'invers correspon a la matriu inversa - Útil per càlculs computacionals

## 6. Grups de Simetria Discrets

### 6.1 Grups Puntuals (Rosasses)

Fixen un punt. Classificació: - **Grup cíclic $C_n$:** Rotacions de $\frac{2\pi}{n}$. Ordre $n$. - **Grup dièdric $D_n$:** $C_n$ + $n$ reflexions. Ordre $2n$.

**Exemples:** - $C_1$: Sense simetria (lletra F) - $C_2$: Simetria central (lletra S) - $D_1$: Una reflexió (lletra A) - $D_2$: 2 reflexions perpendiculars (lletra H) - $D_4$: Quadrat - $D_6$: Hexàgon regular

### 6.2 Grups de Frisos

Patrons amb simetria de translació en una direcció. **7 tipus:**

1. **p1:** Només translació 2. **p11m:** Translació + reflexió horitzontal 3. **p1m1:** Translació + reflexió vertical 4. **p11g:** Translació + simetria amb lliscament 5. **p2:** Translació + rotació 180° 6. **p2mm:** Translació + 2 reflexions perpendiculars 7. **p2mg:** Translació + rotació + simetria amb lliscament

### 6.3 Grups Cristal·logràfics

Patrons amb simetria de translació en dues direccions independents. **17 tipus** (grups de paper pintat).

S'identifiquen per les rotacions permeses: només ordres 1, 2, 3, 4, 6 (restricció cristal·logràfica).

## 7. Equacions i Punts Fixos

### 7.1 Trobar Punts Fixos

Per trobar els punts fixos de $f$, resolem $f(P) = P$:

**Rotació $R_{C,\theta}$:** Únic punt fix $C$ (si $\theta \neq 0$).

**Reflexió $S_r$:** Tots els punts de $r$.

**Simetria amb lliscament:** Cap punt fix.

### 7.2 Determinar el Tipus de Moviment

Donat un moviment per les imatges $A \to A'$, $B \to B'$, $C \to C'$:

1. Comprovar si és directe o invers (orientació del triangle) 2. Si directe: buscar el centre de rotació (intersecció de mediatrius) o determinar translació 3. Si invers: buscar l'eix de reflexió i possible lliscament

## 8. Aplicacions

### 8.1 Geometria Computacional

- Animacions i videojocs - CAD (disseny assistit per ordinador) - Robòtica: moviments del braç robòtic

### 8.2 Art i Decoració

- **M.C. Escher:** Exploració artística dels 17 grups - **Art islàmic:** Mosaics de l'Alhambra - **Disseny tèxtil:** Patrons repetitius

### 8.3 Cristal·lografia

L'estructura dels minerals segueix els grups de simetria. Important per: - Difracció de raigs X - Síntesi de materials - Farmacologia (quiralitat)

### 8.4 Física

- Simetries i lleis de conservació (teorema de Noether) - Mecànica quàntica: invariància sota transformacions

## 9. Didàctica

### 9.1 ESO

- **Materials:** Miralls, paper calcat, GeoGebra - **Activitats:** Identificar simetries en banderes, logotips, naturalesa - **Projecte:** Crear un fris amb els 7 patrons

### 9.2 Batxillerat

- **Àlgebra:** Matrius de transformació, producte matricial - **Demostració:** La composició de reflexions és translació o rotació - **Grup:** Introduir axiomes de grup amb exemples geomètrics

## 10. Exemples Resolts

### Exemple 1: Composició de Dues Reflexions

Siguin $r_1: y = 0$ i $r_2: y = 2$. Calcular $S_{r_2} \circ S_{r_1}$.

**Solució:** Els eixos són paral·lels, separats $d = 2$. $$S_{r_2} \circ S_{r_1} = T_{(0, 4)}$$ És una translació de vector $(0, 4)$ (perpendicular als eixos, mòdul $2d = 4$).

### Exemple 2: Composició de Rotacions

Calcular $R_{B,60°} \circ R_{A,90°}$ on $A = (0,0)$ i $B = (1,0)$.

**Solució:** Angle total = $60° + 90° = 150° \neq 0$. És una rotació de $150°$. El centre es troba geomètricament o analíticament.

## 11. Conclusions

Els moviments del pla, tot i ser només quatre tipus bàsics, generen una estructura algebraica rica: el grup euclidià $E(2)$. L'estudi de les composicions revela resultats elegants (dues reflexions donen translació o rotació) i connecta la geometria amb l'àlgebra. Els grups discrets de simetria (rosasses, frisos, grups cristal·logràfics) tenen aplicacions en art, ciència i tecnologia.