Espais de Hilbert. Aplicacions

📋 RESUM: Espais de Hilbert • Producte escalar ⟨·,·⟩ ⇒ norma ‖x‖=√⟨x,x⟩, distància i geometria (ortogonalitat). • Cauchy–Schwarz: |⟨x,y⟩|≤‖x‖‖y‖. • Hilbert: espai amb producte escalar complet en la norma. • Exemples: ℝⁿ, ℓ², L²[a,b]. • Complement ortogonal: M^⊥={x:⟨x,m⟩=0}. Si M tancat, H=M⊕M^⊥. • Teorema de projecció: per M tancat, existeix únic P_Mx∈M que minimitza ‖x-y‖; x-P_Mx∈M^⊥. • BON: (e_n) ortonormal i densa ⇒ x=Σ⟨x,e_n⟩e_n (en norma). • Parseval: ‖x‖²=Σ|⟨x,e_n⟩|²; Bessel: Σ|⟨x,e_n⟩|²≤‖x‖². • Gram–Schmidt: ortonormalitza una família independent. • Operadors acotats, adjunt T*, autoadjunts i unitaris. • Riesz: tot funcional continu φ s’escriu com φ(x)=⟨x,y⟩. • Aplicacions: Fourier com projecció en L², mínims quadrats, formulacions variacionals i quàntica.