Sèries de Fourier. Aplicacions

📋 RESUM: Sèries de Fourier • Per a funcions 2π-periòdiques: f(x) ~ a₀/2 + Σ_{n≥1}(a_n cos nx + b_n sin nx). • Coeficients: a₀=(1/π)∫_{-π}^{π} f, a_n=(1/π)∫ f cos nx, b_n=(1/π)∫ f sin nx. • Ortogonalitat de sin/cos a [-π,π] ⇒ càlcul per projecció. • Forma complexa: f ~ Σ c_n e^{inx}, c_n=(1/2π)∫ f e^{-inx}. • Simetries: f parella ⇒ b_n=0; f senar ⇒ a_n=0. • Convergència (Dirichlet): la sèrie convergeix a (f(x⁺)+f(x⁻))/2; a f en punts continus. • Fenomen de Gibbs: sobreoscil·lació prop de salts. • Parseval: (1/π)∫|f|² = a₀²/2 + Σ(a_n²+b_n²). • Període T: freqüència fonamental ω₀=2π/T. • Aplicacions: anàlisi de senyals i resolució d’EDP (calor, ones) per separació de variables.