Geometria afí. Espai afí

📋 RESUM: Geometria afí i espai afí • Espai afí: terna (𝒜, V, +) amb punts, espai vectorial i acció que satisfà axiomes (neutre, associativitat, transitivitat) • Vector de posició: únic vector PQ tal que P + PQ = Q; relació de Chasles: PQ + QR = PR • Referència afí: origen O + base {e₁,...,eₙ}; coordenades via OP = Σxᵢeᵢ • Varietat afí: 𝓛 = P + W (punt base + subespai director); dim(𝓛) = dim(W) • Nomenclatura: punt (dim 0), recta (dim 1), pla (dim 2), hiperplà (codim 1) • Equacions: paramètriques (amb paràmetres λ) o implícites/cartesianes (equacions lineals) • Intersecció: 𝓛₁ ∩ 𝓛₂ ≠ ∅ ⟺ P₁P₂ ∈ W₁ + W₂; fórmula de Grassmann afí • Paral·lelisme: W₁ ⊆ W₂ o W₂ ⊆ W₁; estrictament paral·leles si W₁ = W₂ • Raó simple: r(A,B,C) = λ amb AC = λ·AB; invariant afí fonamental • Coordenades baricèntriques: Q = Σλᵢ·Pᵢ amb Σλᵢ = 1 • Aplicació afí: f(P+v) = f(P) + f̄(v); en coordenades: f(X) = AX + b • Propietats preservades: alineació, paral·lelisme, raó simple, baricentre • Afinitat: aplicació afí bijectiva (det(A) ≠ 0); exemples: translacions, homoteties, simetries