Geometria mètrica. Espai euclidià

📋 RESUM: Geometria mètrica i espai euclidià • Producte escalar: ⟨·,·⟩:V×V→ℝ simètric, bilineal, definit positiu; canònic: u·v = Σuᵢvᵢ • Matriu de Gram: G = (⟨eᵢ,eⱼ⟩); en base ortonormal G = I • Norma: ‖v‖ = √⟨v,v⟩; distància d(P,Q) = ‖PQ‖ • Desigualtat Cauchy-Schwarz: |⟨u,v⟩| ≤ ‖u‖·‖v‖ • Angle: cos θ = ⟨u,v⟩/(‖u‖·‖v‖) • Ortogonalitat: u⊥v ⟺ ⟨u,v⟩=0; V = W ⊕ W^⊥ • Gram-Schmidt: procés per construir base ortogonal a partir de qualsevol base • Projecció ortogonal: proy_W(v) = Σ ⟨v,uᵢ⟩/⟨uᵢ,uᵢ⟩ · uᵢ • Producte vectorial: u×v perpendicular a u i v, ‖u×v‖ = àrea paral·lelogram • Producte mixt: [u,v,w] = u·(v×w) = det; |[u,v,w]| = volum paral·lelepípede • Distància punt-pla: d = |ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²) • Distància punt-recta: d = ‖AP×v‖/‖v‖ • Isometria: preserva distàncies; matriu ortogonal (AᵀA = I) • Isometries directes (det=1) vs inverses (det=-1)