T37. Corbes en el pla i en l'espai

Desarrollo del tema

# CORBES EN EL PLA I EN L'ESPAI

## 1. Introducció

L'estudi de les **corbes** en el pla i en l'espai és essencial en geometria diferencial i en aplicacions com la física (trajectòries), enginyeria (disseny de camins), CAD i robòtica. Una corba es pot descriure com la imatge d'una funció d'una variable real cap a $\mathbb{R}^2$ o $\mathbb{R}^3$.

En aquest tema abordarem diverses representacions de corbes, la regularitat, el vector tangent, longitud d'arc i, per a corbes a l'espai, el triedre de Frenet i les nocions de curvatura i torsió.

## 2. Representacions de Corbes

### 2.1 Corbes en el pla

Una corba plana es pot descriure:

**(a) Paramètricament:** $$\gamma: I\subseteq\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2,\quad \gamma(t)=(x(t),y(t)).$$

**(b) Implícitament:** $$F(x,y)=0$$

**(c) Explícitament:** $$y=f(x)$$ (si es pot resoldre)

**(d) En polars:** $$r=r(\theta),\quad x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

**Exemples típics:** - Circumferència: $x^2+y^2=R^2$; param.: $(R\cos t,R\sin t)$ - Ciclòide: $x=R(t-\sin t)$, $y=R(1-\cos t)$ - Espiral logarítmica: $r=ae^{b\theta}$

### 2.2 Corbes en l'espai

Una corba espacial: $$\gamma: I\to\mathbb{R}^3,\quad \gamma(t)=(x(t),y(t),z(t)).$$

**Exemple:** hèlix circular: $$\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt).$$

## 3. Regularitat i Vector Tangent

### 3.1 Corba regular

Una corba parametritzada $\gamma$ és **regular** si és diferenciable i $\gamma'(t)\neq 0$ per a tot $t\in I$.

El vector derivada: $$\gamma'(t)=(x'(t),y'(t)) \text{ o } (x'(t),y'(t),z'(t))$$ dóna la direcció tangent.

### 3.2 Recta tangent (pla)

Si $\gamma(t_0)=(x_0,y_0)$ i $\gamma'(t_0)=(x'_0,y'_0)$ amb $x'_0\neq 0$, aleshores la pendent és: $$\frac{dy}{dx}(t_0)=\frac{y'(t_0)}{x'(t_0)}$$

i la recta tangent: $$y-y_0 = \frac{y'_0}{x'_0}(x-x_0).$$

En forma vectorial: $\ell(s)=\gamma(t_0)+s\gamma'(t_0)$.

### 3.3 Corbes implícites

Si $F(x,y)=0$ i $\nabla F(x_0,y_0)\neq 0$, el teorema de la funció implícita garanteix que localment $y=f(x)$ o $x=g(y)$.

La tangent en $(x_0,y_0)$ és: $$F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0.$$

## 4. Reparametrització i longitud d'arc

### 4.1 Longitud d'arc

Per a $\gamma:I=[a,b]\to\mathbb{R}^n$ regular i $C^1$, la longitud és: $$L(\gamma)=\int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt.$$

**Corba plana explícita:** si $y=f(x)$, $x\in[a,b]$: $$L=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx.$$

### 4.2 Parametrització per longitud d'arc

Definim $s(t)=\int_{t_0}^{t}\|\gamma'(u)\|du$. Si $s$ és invertible, podem reparametritzar $\gamma$ en funció de $s$ obtenint una corba amb velocitat unitària: $$\left\|\frac{d\gamma}{ds}\right\|=1.$$

Això simplifica les definicions de curvatura.

## 5. Curvatura en el pla

Per una corba plana $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ regular i $C^2$, la **curvatura** és: $$\kappa(t)=\frac{|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)|}{\left(x'(t)^2+y'(t)^2\right)^{3/2}}.$$

Si està parametritzada per longitud d'arc $s$, amb vector tangent unitari $T=\gamma'(s)$: $$\kappa(s)=\|T'(s)\|.$$

El **radi de curvatura** és $\rho=1/\kappa$.

**Exemple:** circumferència de radi $R$ té curvatura constant $\kappa=1/R$.

## 6. Corbes espacials: triedre de Frenet

Suposem $\gamma:I\to\mathbb{R}^3$ regular, $C^3$ i parametritzada per longitud d'arc $s$.

- **Tangent unitari:** $T(s)=\gamma'(s)$ - **Normal principal:** $N(s)=\dfrac{T'(s)}{\|T'(s)\|}$ (quan $\kappa\neq 0$) - **Binormal:** $B(s)=T(s)\times N(s)$

### 6.1 Fórmules de Frenet-Serret

$$T'(s)=\kappa(s)N(s)$$ $$N'(s)=-\kappa(s)T(s)+\tau(s)B(s)$$ $$B'(s)=-\tau(s)N(s)$$

on: - $\kappa(s)$ és la **curvatura** - $\tau(s)$ és la **torsió**

### 6.2 Fórmules en parametre t general

Si $\gamma(t)$ no està parametritzada per $s$:

$$\kappa(t)=\frac{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|}{\|\gamma'(t)\|^3}$$

$$\tau(t)=\frac{(\gamma'(t),\gamma''(t),\gamma'''(t))}{\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\|^2}$$

on $(a,b,c)$ és el determinant (producte mixt) de $a,b,c$.

**Interpretació:** $\kappa$ mesura “quant gira” la tangent; $\tau$ mesura “quant surt del pla osculador”.

## 7. Plans associats a una corba

- **Pla osculador:** generat per $T$ i $N$; normal $B$ - **Pla normal:** generat per $N$ i $B$; normal $T$ - **Pla rectificant:** generat per $T$ i $B$; normal $N$

**Equació del pla osculador** en $P=\gamma(s_0)$: $$B(s_0)\cdot (X-P)=0.$$

## 8. Exemples clàssics

### 8.1 Hèlix

$\gamma(t)=(a\cos t,a\sin t,bt)$.

Es pot demostrar que té curvatura i torsió constants: $$\kappa=\frac{a}{a^2+b^2},\qquad \tau=\frac{b}{a^2+b^2}.$$

### 8.2 Corba plana amb torsió nul·la

Si una corba està continguda en un pla, aleshores $\tau=0$.

## 9. Regularitat, punts singulars i cúspides

Si $\gamma'(t_0)=0$, el punt és **singular**. Pot ser: - cúspide (punta) - punt doble (auto-intersecció)

En corbes implícites, $\nabla F=0$ identifica punts singulars.

## 10. Aplicacions

- **Trajectòries i cinemàtica:** velocitat $\gamma'$, acceleració $\gamma''$; descomposició en components tangent i normal. - **Camins òptims:** corbes de braquistòcrona (ciclòide) i geodèsiques (vegeu T38). - **CAD i splines:** representacions paramètriques (Bézier, B-splines) per disseny.

## 11. Conclusions

Les corbes es descriuen de manera natural amb parametritzacions. La regularitat garanteix tangent ben definida. La longitud d'arc i la reparametrització per $s$ permeten definir curvatura de manera intrínseca. A l'espai, el triedre de Frenet-Serret amb curvatura i torsió caracteritza la geometria local de la corba.