T21. Desenvolupaments en sèries de potències de funcions usuals

Desarrollo del tema

# DESENVOLUPAMENTS EN SÈRIES DE POTÈNCIES DE FUNCIONS USUALS

## 1. Introducció

Les **sèries de potències** constitueixen una de les eines més poderoses de l'anàlisi matemàtica. Permeten representar funcions com a sumes infinites de termes polinòmics, facilitant el càlcul, l'aproximació i l'estudi de propietats analítiques. Aquesta representació és fonamental en física, enginyeria i matemàtica aplicada.

En aquest tema estudiarem la teoria general de les sèries de potències, el teorema de Taylor i els desenvolupaments de les funcions elementals més importants.

## 2. Sèries de Potències: Definicions

### 2.1 Definició formal

Una **sèrie de potències** centrada en $a$ és una expressió de la forma:

$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n = c_0 + c_1(x-a) + c_2(x-a)^2 + c_3(x-a)^3 + \cdots$$

on $\{c_n\}$ és una successió de coeficients reals (o complexos) i $a$ és el **centre** de la sèrie. Quan $a = 0$, la sèrie s'anomena **sèrie de Maclaurin**.

### 2.2 Radi de convergència

Tota sèrie de potències té associat un **radi de convergència** $R \in [0, +\infty]$ tal que: - La sèrie **convergeix absolutament** si $|x - a| < R$ - La sèrie **divergeix** si $|x - a| > R$ - Als punts $|x - a| = R$ cal estudiar cada cas

El conjunt $\{x : |x-a| < R\}$ s'anomena **interval de convergència** (obert).

**Fórmula de Cauchy-Hadamard:** $$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|c_n|}$$

**Criteri del quocient (D'Alembert):** Si el límit existeix: $$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$

### 2.3 Propietats fonamentals

Dins del seu interval de convergència, una sèrie de potències defineix una funció $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$ que és:

1. **Contínua** a tot l'interval obert de convergència 2. **Infinitament derivable** terme a terme: $$f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n \cdot c_n (x-a)^{n-1}$$ 3. **Integrable** terme a terme: $$\int f(x)\,dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{n+1} (x-a)^{n+1}$$ 4. La derivada i la primitiva tenen el **mateix radi de convergència** $R$

## 3. Teorema de Taylor

### 3.1 Fórmula de Taylor

Si $f$ és una funció amb derivades de tots els ordres en un entorn del punt $a$, la seva **sèrie de Taylor** centrada en $a$ és:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$$

Quan $a = 0$, s'anomena **sèrie de Maclaurin**: $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$

### 3.2 Polinomi de Taylor i residu

El **polinomi de Taylor de grau $n$** és la suma parcial: $$P_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!} (x-a)^k$$

El **residu** o error és $R_n(x) = f(x) - P_n(x)$. Algunes formes:

**Residu de Lagrange:** $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} (x-a)^{n+1}$$ per algun $\xi$ entre $a$ i $x$.

**Residu de Cauchy:** $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{n!} (x-\xi)^n (x-a)$$

### 3.3 Condició de convergència

La sèrie de Taylor convergeix a $f(x)$ si i només si $\lim_{n \to \infty} R_n(x) = 0$.

**Teorema:** Una funció és **analítica** en un punt $a$ si la seva sèrie de Taylor convergeix a la funció en un entorn d'$a$.

## 4. Desenvolupaments de Funcions Usuals

### 4.1 Funció exponencial

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$

**Radi de convergència:** $R = +\infty$ (convergeix per a tot $x \in \mathbb{R}$)

**Demostració:** Si $f(x) = e^x$, tenim $f^{(n)}(x) = e^x$ per a tot $n$, així $f^{(n)}(0) = 1$.

### 4.2 Funcions trigonomètriques

**Sinus:** $$\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$

**Cosinus:** $$\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

**Radi de convergència:** $R = +\infty$ per a ambdues.

**Observació:** $\sin x$ només té potències senars (funció senar) i $\cos x$ només parelles (funció parella).

**Tangent:** La sèrie és més complexa i involucra els **nombres de Bernoulli**: $$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + \cdots \quad (|x| < \frac{\pi}{2})$$

### 4.3 Funcions hiperbòliques

**Sinus hiperbòlic:** $$\sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$$

**Cosinus hiperbòlic:** $$\cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$

**Relació amb exponencial:** $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$

### 4.4 Logaritme natural

$$\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$

**Radi de convergència:** $R = 1$, i convergeix també per $x = 1$ (sèrie harmònica alternada).

**Sèrie per a $\ln\frac{1+x}{1-x}$:** Útil per calcular logaritmes: $$\ln\frac{1+x}{1-x} = 2\left(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \cdots\right) = 2\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}$$

### 4.5 Sèrie binomial

Per a $\alpha \in \mathbb{R}$ qualsevol: $$(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} x^n = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3 + \cdots$$

on el **coeficient binomial generalitzat** és: $$\binom{\alpha}{n} = \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}$$

**Radi de convergència:** $R = 1$ (per a $\alpha \notin \mathbb{N}$)

**Casos particulars importants:** - $\alpha = -1$: $\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots$ (sèrie geomètrica) - $\alpha = \frac{1}{2}$: $\sqrt{1+x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} - \cdots$ - $\alpha = -\frac{1}{2}$: $\frac{1}{\sqrt{1+x}} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{3x^2}{8} - \frac{5x^3}{16} + \cdots$

### 4.6 Funció arctangent

$$\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$$

**Radi de convergència:** $R = 1$

**Aplicació famosa:** Fent $x = 1$: $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots$$ (Sèrie de Leibniz per a $\pi$, de convergència molt lenta)

### 4.7 Funció arcsinus

$$\arcsin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \cdots$$

**Radi de convergència:** $R = 1$

## 5. Operacions amb Sèries de Potències

### 5.1 Suma i resta

Si $f(x) = \sum a_n x^n$ i $g(x) = \sum b_n x^n$ amb radis $R_f$ i $R_g$: $$f(x) \pm g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n) x^n$$ amb radi almenys $\min(R_f, R_g)$.

### 5.2 Producte (convolució de Cauchy)

$$(f \cdot g)(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \quad \text{on} \quad c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}$$

### 5.3 Composició

Si $g(0) = 0$, es pot substituir $x$ per $g(x)$ en la sèrie de $f$: $$f(g(x)) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n [g(x)]^n$$

### 5.4 Inversió

Si $f(0) = 0$ i $f'(0) \neq 0$, la funció inversa $f^{-1}$ també té desenvolupament en sèrie de potències (teorema de la funció inversa analítica).

## 6. Aplicacions

### 6.1 Càlcul de límits

**Exemple:** $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$

Usant el desenvolupament: $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ $$\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + O(x^5)}{x^3} = -\frac{1}{6} + O(x^2) \to -\frac{1}{6}$$

### 6.2 Càlcul d'integrals

Algunes funcions no tenen primitiva elemental però es poden integrar terme a terme:

$$\int e^{-x^2} dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!} dx = C + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

### 6.3 Resolució d'equacions diferencials

Mètode de sèries de potències: suposar $y = \sum a_n x^n$, substituir a l'equació i igualar coeficients.

### 6.4 Aproximacions numèriques

El polinomi de Taylor de grau $n$ proporciona aproximacions amb error controlat pel residu de Lagrange.

## 7. Fórmula d'Euler

Una de les conseqüències més profundes és la **fórmula d'Euler** per a exponencials complexes: $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

que es demostra comparant les sèries: $$e^{ix} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} + i \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \cos x + i \sin x$$

El cas $x = \pi$ dóna la **identitat d'Euler**: $e^{i\pi} + 1 = 0$.

## 8. Conclusions

Els desenvolupaments en sèries de potències són una eina fonamental que connecta l'àlgebra (polinomis), l'anàlisi (convergència, derivació) i el càlcul numèric (aproximacions). Dominar les sèries de les funcions usuals és essencial per a qualsevol matemàtic o científic.