Desenvolupaments en sèries de potències de funcions usuals

📋 RESUM: Sèries de potències i funcions usuals **Conceptes fonamentals:** • Sèrie de potències: Σcₙ(x-a)ⁿ amb radi de convergència R • Fórmula de Cauchy-Hadamard: 1/R = limsup ⁿ√|cₙ| • Dins l'interval: funció contínua, infinitament derivable, integrable terme a terme **Teorema de Taylor:** • f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x-a)ⁿ • Residu de Lagrange: Rₙ(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)/(n+1)! · (x-a)ⁿ⁺¹ **Desenvolupaments essencials (R = radi):** • eˣ = Σ xⁿ/n! (R = ∞) • sin x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1)! (R = ∞) • cos x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ/(2n)! (R = ∞) • ln(1+x) = Σ (-1)ⁿ⁺¹xⁿ/n (R = 1) • (1+x)ᵅ = Σ (α choose n)xⁿ (R = 1) • arctan x = Σ (-1)ⁿx²ⁿ⁺¹/(2n+1) (R = 1) **Aplicacions:** càlcul de límits, integrals, EDOs, aproximacions, fórmula d'Euler.