T49. Contrast d'hipòtesis

Desarrollo del tema

# CONTRAST D'HIPÒTESIS

## 1. Introducció

El **contrast d’hipòtesis** és un procediment formal per decidir, a partir d’una mostra, si una afirmació sobre la població és compatible amb les dades. A diferència de l’estimació, que cerca un valor o interval per al paràmetre, el contrast formula una decisió entre:

- **Hipòtesi nul·la $H_0$** (afirmació base) - **Hipòtesi alternativa $H_1$** (afirmació que volem evidenciar)

En aquest tema veurem el marc general de Neyman–Pearson, errors de tipus I i II, nivell de significació, potència, p-valor i els contrasts més habituals (mitjana, proporció, variància i comparació de dues mostres).

## 2. Elements d’un contrast

### 2.1 Hipòtesis

Exemples: - $H_0: \mu = \mu_0$ vs $H_1: \mu \ne \mu_0$ (bilateral) - $H_0: p \le p_0$ vs $H_1: p > p_0$ (unilateral)

### 2.2 Estadístic de contrast i regió crítica

Escollim un estadístic $T(X_1,\ldots,X_n)$ amb distribució coneguda sota $H_0$.

Definim una **regió crítica** $C$ tal que si $T\in C$ rebutgem $H_0$.

### 2.3 Errors

- **Error de tipus I:** rebutjar $H_0$ quan és certa. $$\alpha = \mathbb{P}(\text{rebutjar }H_0\mid H_0\text{ certa})$$

- **Error de tipus II:** no rebutjar $H_0$ quan $H_1$ és certa. $$\beta = \mathbb{P}(\text{no rebutjar }H_0\mid H_1\text{ certa})$$

- **Potència:** $$1-\beta = \mathbb{P}(\text{rebutjar }H_0\mid H_1\text{ certa})$$

El nivell de significació $\alpha$ es fixa a priori (p.ex. 0.05). La potència depèn de $n$, de la variabilitat i de la distància a l’alternativa.

### 2.4 p-valor

El **p-valor** és la probabilitat, sota $H_0$, d’obtenir un resultat tan extrem o més extrem que l’observat.

**Regla:** rebutjar $H_0$ si $p\text{-valor} \le \alpha$.

**Precaució:** p-valor no és la probabilitat que $H_0$ sigui certa.

## 3. Marc de Neyman–Pearson

Per a contrastos simples $H_0: \theta=\theta_0$ vs $H_1: \theta=\theta_1$, el **lema de Neyman–Pearson** diu que el contrast més potent al nivell $\alpha$ és el basat en la **raó de versemblances**: $$\Lambda(\mathbf{x})=\frac{L(\theta_0;\mathbf{x})}{L(\theta_1;\mathbf{x})}$$

Per contrastos compostos, s’utilitzen generalitzacions (GLRT), contrasts basats en estadístics suficients o aproximacions asímptotiques.

## 4. Contrasts clàssics

### 4.1 Contrast per la mitjana (normal, σ coneguda)

Hipòtesis: $H_0: \mu=\mu_0$.

Estadístic: $$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim\mathcal{N}(0,1)\quad (H_0)$$

Regió crítica: - Bilateral: rebutjar si $|Z|>z_{\alpha/2}$ - Unilateral dreta: rebutjar si $Z>z_{\alpha}$

### 4.2 Contrast per la mitjana (normal, σ desconeguda)

$$T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}\quad (H_0)$$

- Bilateral: rebutjar si $|T|>t_{\alpha/2,n-1}$

### 4.3 Contrast per una proporció

Amb $X\sim\mathrm{Bin}(n,p)$ i $\hat p=X/n$.

Sota $H_0: p=p_0$, per $n$ gran: $$Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx \mathcal{N}(0,1)$$

### 4.4 Contrast per la variància (normal)

$H_0: \sigma^2=\sigma_0^2$.

$$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim \chi^2_{n-1}$$

Bilateral: rebutjar si $\chi^2<\chi^2_{\alpha/2,n-1}$ o $\chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2,n-1}$.

### 4.5 Comparació de dues mitjanes (mostres independents)

Sigui $X_1,\ldots,X_{n_1}\sim\mathcal{N}(\mu_1,\sigma_1^2)$ i $Y_1,\ldots,Y_{n_2}\sim\mathcal{N}(\mu_2,\sigma_2^2)$ independents.

**Cas (variàncies iguals desconegudes):** $\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$.

Variància combinada: $$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

Estadístic: $$T=\frac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)_0}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t_{n_1+n_2-2}$$

**Cas (variàncies diferents):** contrast de Welch (t aproximada amb graus de llibertat de Satterthwaite).

### 4.6 Comparació de dues proporcions

Amb $\hat p_1=X/n_1$, $\hat p_2=Y/n_2$. Sota $H_0: p_1=p_2$, usem proporció combinada: $$\hat p=\frac{X+Y}{n_1+n_2}$$

Estadístic: $$Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\approx \mathcal{N}(0,1)$$

## 5. Relació amb intervals de confiança

Hi ha una equivalència important: - Rebutjar $H_0: \theta=\theta_0$ (bilateral) al nivell $\alpha$ és equivalent a que $\theta_0$ no pertanyi a l’interval de confiança $(1-\alpha)$ per $\theta$.

Això ajuda a interpretar i verificar resultats.

## 6. Potència i grandària mostral

Per augmentar la potència (reduir $\beta$): - augmentar $n$ - reduir la variabilitat (millor mesura/disseny) - fixar alternatives més separades de $H_0$

**Exemple (mitjana, σ coneguda):** per detectar diferència $\delta$ amb potència $1-\beta$: $$n \ge \left(\frac{(z_{\alpha/2}+z_{\beta})\sigma}{\delta}\right)^2$$

## 7. Contrastos no paramètrics (breu)

Quan les hipòtesis de normalitat o formes paramètriques no són fiables: - **Signes** i **Wilcoxon** (mediana) - **Mann–Whitney** (dues mostres) - **Kruskal–Wallis** (múltiples grups) - **Chi-quadrat** per independència en taules de contingència

## 8. Exemples resolts

### Exemple 1 (t de Student)

$n=16$, $\bar x=52$, $s=8$. Contrast $H_0: \mu=50$ vs $H_1: \mu>50$ al 5%. $$T=\frac{52-50}{8/\sqrt{16}}=\frac{2}{2}=1$$

Valor crític: $t_{0.95,15}\approx 1.753$. Com que $1<1.753$, **no** rebutgem $H_0$.

### Exemple 2 (proporció)

En $n=200$, $X=120$ èxits. $\hat p=0.6$. Contrast $H_0:p=0.5$ vs $H_1:p>0.5$. $$Z=\frac{0.6-0.5}{\sqrt{0.5\cdot 0.5/200}}=\frac{0.1}{\sqrt{0.00125}}\approx 2.828$$

Com que $2.828>z_{0.95}=1.645$, rebutgem $H_0$.

## 9. Didàctica

- Treballar l’error de tipus I i II amb exemples (diagnòstic mèdic) - Simular el p-valor i el nivell de significació - Insistir en la diferència entre “no rebutjar” i “acceptar” H0 - Relacionar contrast bilateral amb interval de confiança

## 10. Conclusions

Els contrasts d’hipòtesis formalitzen la decisió estadística sota incertesa. El control de l’error de tipus I ($\alpha$) i l’estudi de la potència són centrals. Els contrasts clàssics (z, t, chi-quadrat) cobreixen molts casos pràctics, i els no paramètrics ofereixen alternatives robustes quan fallen les hipòtesis del model.