T22. Estudi global de funcions. Representació gràfica

Desarrollo del tema

# ESTUDI GLOBAL DE FUNCIONS. REPRESENTACIÓ GRÀFICA

## 1. Introducció

L'**estudi global** d'una funció consisteix en analitzar sistemàticament totes les seves característiques per comprendre el seu comportament i poder-ne traçar la gràfica amb precisió. Aquesta habilitat és fonamental en matemàtiques i té aplicacions en física, economia, enginyeria i altres ciències.

En aquest tema desenvoluparem un protocol complet per a l'anàlisi de funcions reals d'una variable, integrant conceptes de càlcul diferencial i límits.

## 2. Domini i Recorregut

### 2.1 Domini

El **domini** d'una funció $f$ és el conjunt de valors de $x$ per als quals $f(x)$ està definida: $$\text{Dom}(f) = \{x \in \mathbb{R} : f(x) \text{ existeix}\}$$

**Restriccions típiques:** - **Fraccions:** denominador $\neq 0$ - **Arrels parells:** radicand $\geq 0$ - **Logaritmes:** argument $> 0$ - **Arcsin, arccos:** argument $\in [-1, 1]$

**Exemple:** $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$ - Cal $x + 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$ - Cal $\frac{x-1}{x+2} \geq 0$

Estudiant el signe: $\text{Dom}(f) = (-\infty, -2) \cup [1, +\infty)$

### 2.2 Recorregut (imatge)

El **recorregut** és el conjunt de valors que pren la funció: $$\text{Im}(f) = \{y \in \mathbb{R} : \exists x \in \text{Dom}(f), f(x) = y\}$$

Es pot determinar estudiant el comportament global de la funció, o resolent $y = f(x)$ per a $x$ i veient per a quins $y$ existeix solució.

## 3. Simetries i Periodicitat

### 3.1 Paritat

- **Funció parella:** $f(-x) = f(x)$ per a tot $x$ (simètrica respecte l'eix $y$) - **Funció senar:** $f(-x) = -f(x)$ per a tot $x$ (simètrica respecte l'origen)

**Exemples:** - Parelles: $x^2$, $\cos x$, $|x|$, $\cosh x$ - Senars: $x^3$, $\sin x$, $\tan x$, $\sinh x$

### 3.2 Periodicitat

Una funció és **periòdica** de període $T > 0$ si: $$f(x + T) = f(x) \quad \forall x \in \text{Dom}(f)$$

El **període fonamental** és el menor $T$ positiu amb aquesta propietat.

**Períodes fonamentals:** - $\sin x$, $\cos x$: $T = 2\pi$ - $\tan x$, $\cot x$: $T = \pi$

Per a $f(ax + b)$: el període és $T/|a|$.

## 4. Punts de Tall amb els Eixos

### 4.1 Tall amb l'eix Y

Si $0 \in \text{Dom}(f)$, el punt de tall és $(0, f(0))$.

### 4.2 Talls amb l'eix X (zeros)

Resoldre l'equació $f(x) = 0$. Els zeros són els punts $(x_i, 0)$.

**Mètodes de resolució:** - Factorització - Fórmula quadràtica - Mètodes numèrics (Newton-Raphson, bisecció)

### 4.3 Signe de la funció

Determinar els intervals on $f(x) > 0$ i on $f(x) < 0$. S'utilitza: 1. Trobar els zeros 2. Estudiar el signe entre zeros consecutius

## 5. Límits i Asímptotes

### 5.1 Comportament als extrems del domini

Calcular: - $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ i $\lim_{x \to -\infty} f(x)$ - $\lim_{x \to a^{\pm}} f(x)$ per a punts $a$ fora del domini

### 5.2 Asímptotes verticals

La recta $x = a$ és **asímptota vertical** si: $$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty \quad \text{o} \quad \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$$

Típicament apareixen on el denominador s'anul·la.

### 5.3 Asímptotes horitzontals

La recta $y = L$ és **asímptota horitzontal** si: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L \quad \text{o} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

### 5.4 Asímptotes obliqües

La recta $y = mx + n$ és **asímptota obliqua** si: $$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (mx + n)] = 0$$

**Càlcul:** $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$$ $$n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$$

Si $m = 0$, és asímptota horitzontal. Si el límit de $m$ no existeix o és infinit, no hi ha asímptota.

### 5.5 Posició respecte l'asímptota

Estudiar el signe de $f(x) - (mx + n)$ per determinar si la funció s'apropa per dalt o per sota.

## 6. Continuïtat

### 6.1 Definició

$f$ és **contínua** en $a$ si: 1. $f(a)$ existeix 2. $\lim_{x \to a} f(x)$ existeix 3. $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

### 6.2 Tipus de discontinuïtats

- **Evitable:** el límit existeix però $f(a)$ no existeix o és diferent - **De salt:** existeixen els límits laterals però són diferents - **Essencial:** algun límit lateral no existeix o és infinit

## 7. Derivació i Monotonia

### 7.1 Interpretació de la derivada

- $f'(a)$ és el **pendent de la recta tangent** en $(a, f(a))$ - Si $f'(a) > 0$: la funció és creixent en $a$ - Si $f'(a) < 0$: la funció és decreixent en $a$ - Si $f'(a) = 0$: possible extrem o punt d'inflexió

### 7.2 Intervals de monotonia

1. Calcular $f'(x)$ 2. Trobar els **punts crítics**: $f'(x) = 0$ o $f'(x)$ no existeix 3. Estudiar el signe de $f'(x)$ en cada interval 4. $f'(x) > 0 \Rightarrow f$ creixent; $f'(x) < 0 \Rightarrow f$ decreixent

### 7.3 Extrems relatius

**Condició necessària:** Si $f$ té un extrem en $c$ i $f'(c)$ existeix, llavors $f'(c) = 0$.

**Criteri de la primera derivada:** - Si $f'$ canvia de $+$ a $-$ en $c$: **màxim relatiu** - Si $f'$ canvia de $-$ a $+$ en $c$: **mínim relatiu** - Si $f'$ no canvia de signe: no és extrem

**Criteri de la segona derivada:** Si $f'(c) = 0$ i $f''(c)$ existeix: - $f''(c) > 0 \Rightarrow$ mínim relatiu - $f''(c) < 0 \Rightarrow$ màxim relatiu - $f''(c) = 0 \Rightarrow$ no es pot concloure

## 8. Concavitat i Punts d'Inflexió

### 8.1 Concavitat

- $f$ és **còncava cap amunt** (convexa) en $I$ si $f''(x) > 0$ per a tot $x \in I$ - $f$ és **còncava cap avall** (còncava) en $I$ si $f''(x) < 0$ per a tot $x \in I$

Interpretació geomètrica: la gràfica està per sobre (convexa) o per sota (còncava) de les seves tangents.

### 8.2 Punts d'inflexió

Un **punt d'inflexió** és un punt on la concavitat canvia.

**Condició necessària:** Si $c$ és punt d'inflexió i $f''(c)$ existeix, llavors $f''(c) = 0$.

**Condició suficient:** $f''$ canvia de signe en $c$.

**Exemple:** Per a $f(x) = x^3$: $f''(x) = 6x$, que canvia de signe en $x = 0$. Punt d'inflexió: $(0, 0)$.

## 9. Extrems Absoluts

### 9.1 En intervals tancats

**Teorema de Weierstrass:** Si $f$ és contínua en $[a, b]$, llavors $f$ assoleix màxim i mínim absoluts.

**Mètode:** 1. Trobar punts crítics a $(a, b)$ 2. Avaluar $f$ als punts crítics i als extrems $a$ i $b$ 3. Comparar: el màxim és el major valor, el mínim és el menor

### 9.2 En intervals no fitats

Cal estudiar també els límits als extrems del domini.

## 10. Protocol d'Estudi Complet

**Pas 1: Domini i propietats globals** - Calcular el domini - Comprovar paritat i periodicitat

**Pas 2: Punts notables** - Talls amb els eixos - Signe de la funció

**Pas 3: Límits i asímptotes** - Comportament a l'infinit - Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües

**Pas 4: Derivades i monotonia** - $f'(x)$: punts crítics, intervals de creixement/decreixement - Extrems relatius

**Pas 5: Concavitat i inflexió** - $f''(x)$: intervals de concavitat - Punts d'inflexió

**Pas 6: Recorregut** - Deduir la imatge a partir de l'estudi complet

**Pas 7: Representació gràfica** - Traçar asímptotes - Marcar punts notables - Dibuixar la corba respectant monotonia i concavitat

## 11. Exemple Complet

**Estudiar $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 1}$**

**Domini:** $x^2 - 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 1$. Dom$(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$

**Paritat:** $f(-x) = \frac{(-x)^2}{(-x)^2-1} = \frac{x^2}{x^2-1} = f(x)$. Funció **parella**.

**Talls:** Amb eix Y: $(0, 0)$. Amb eix X: $x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$, punt $(0, 0)$.

**Asímptotes verticals:** $x = 1$ i $x = -1$ - $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$

**Asímptota horitzontal:** $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^2-1} = 1$. AH: $y = 1$.

**Derivada:** $f'(x) = \frac{2x(x^2-1) - x^2 \cdot 2x}{(x^2-1)^2} = \frac{-2x}{(x^2-1)^2}$

Punt crític: $x = 0$. Signe: $f'(x) > 0$ si $x < 0$, $f'(x) < 0$ si $x > 0$ (dins del domini).

Màxim relatiu en $x = 0$: $f(0) = 0$.

**Segona derivada:** Analitzant, $f''(0) < 0$ (confirma màxim).

**Concavitat:** Còncava cap avall entre les asímptotes verticals, còncava cap amunt fora.

**Recorregut:** Im$(f) = (-\infty, 0] \cup (1, +\infty)$

## 12. Conclusions

L'estudi global de funcions és un procés sistemàtic que integra múltiples eines del càlcul. Cada pas aporta informació essencial per comprendre el comportament de la funció i traçar-ne una representació fidel. Aquesta habilitat és clau tant per a les oposicions com per a la docència de matemàtiques.