📋 RESUM: Sèries de Fourier
• Per a funcions 2π-periòdiques: f(x) ~ a₀/2 + Σ_{n≥1}(a_n cos nx + b_n sin nx).
• Coeficients: a₀=(1/π)∫_{-π}^{π} f, a_n=(1/π)∫ f cos nx, b_n=(1/π)∫ f sin nx.
• Ortogonalitat de sin/cos a [-π,π] ⇒ càlcul per projecció.
• Forma complexa: f ~ Σ c_n e^{inx}, c_n=(1/2π)∫ f e^{-inx}.
• Simetries: f parella ⇒ b_n=0; f senar ⇒ a_n=0.
• Convergència (Dirichlet): la sèrie convergeix a (f(x⁺)+f(x⁻))/2; a f en punts continus.
• Fenomen de Gibbs: sobreoscil·lació prop de salts.
• Parseval: (1/π)∫|f|² = a₀²/2 + Σ(a_n²+b_n²).
• Període T: freqüència fonamental ω₀=2π/T.
• Aplicacions: anàlisi de senyals i resolució d’EDP (calor, ones) per separació de variables.
Desarrollo del tema
# SÈRIES DE FOURIER. APLICACIONS
## 1. Introducció
Les **sèries de Fourier** permeten expressar funcions periòdiques com a combinacions (possiblement infinites) de sinus i cosinus. Aquesta idea, introduïda per Joseph Fourier al segle XIX, és fonamental en el tractament de senyals, acústica, òptica, equacions en derivades parcials i en general en anàlisi harmònica.
El nucli del tema és: donada una funció periòdica $f$ de període $2\pi$, trobar coeficients $a_n$, $b_n$ perquè
Relacions: $c_0=a_0/2$, $c_n=(a_n-ib_n)/2$ per $n\ge1$, $c_{-n}=(a_n+ib_n)/2$.
## 5. Simetries
- Si $f$ és **parella**, $b_n=0$ i només apareixen cosinus.
- Si $f$ és **senar**, $a_n=0$ i només apareixen sinus.
Aquest fet simplifica molt els càlculs.
## 6. Convergència de la sèrie de Fourier
### 6.1 Condicions de Dirichlet
Si $f$ és periòdica, de variació acotada (o peça a peça $C^1$) i té un nombre finit de discontinuïtats i extrems en $[-\pi,\pi]$, aleshores la sèrie de Fourier convergeix per a tot $x$ a:
En punts de continuïtat, convergeix a $f(x)$. En punts de discontinuïtat, convergeix a la mitjana dels límits laterals.
### 6.2 Fenomen de Gibbs
Prop d’una discontinuïtat, les sumes parcials presenten oscil·lacions que no desapareixen en alçada (sobreoscil·lació d’aprox. 9%), tot i que s’estrenyen en amplada. És el **fenomen de Gibbs**.
### 6.3 Convergència en $L^2$ i identitat de Parseval
Per a $f\in L^2[-\pi,\pi]$, la sèrie de Fourier convergeix a $f$ en norma $L^2$.
on $b_n$ són coeficients de Fourier sinus de la condició inicial $u(x,0)=f(x)$.
## 10. Conclusions
Les sèries de Fourier proporcionen una base ortogonal per expandir funcions periòdiques i analitzar-les tant qualitativament com quantitativament. Les condicions de Dirichlet expliquen la convergència puntual i el fenomen de Gibbs descriu el comportament prop de discontinuïtats. Parseval connecta energia i coeficients. A nivell aplicat, són essencials per resoldre EDP per separació de variables i per al tractament de senyals.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
