T27. Sèries de Fourier. Aplicacions

Desarrollo del tema

# SÈRIES DE FOURIER. APLICACIONS

## 1. Introducció

Les **sèries de Fourier** permeten expressar funcions periòdiques com a combinacions (possiblement infinites) de sinus i cosinus. Aquesta idea, introduïda per Joseph Fourier al segle XIX, és fonamental en el tractament de senyals, acústica, òptica, equacions en derivades parcials i en general en anàlisi harmònica.

El nucli del tema és: donada una funció periòdica $f$ de període $2\pi$, trobar coeficients $a_n$, $b_n$ perquè

$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big).$$

## 2. Espai $L^2$ i ortogonalitat trigonomètrica

Considerem el producte escalar en $[-\pi,\pi]$:

$$\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi} f(x)g(x)\,dx.$$

Llavors tenim les relacions d’ortogonalitat:

$$\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)\,dx=\begin{cases}0,&n\neq m\\ \pi,&n=m\neq 0\\ 2\pi,&n=m=0\end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\begin{cases}0,&n\neq m\\ \pi,&n=m\neq 0\end{cases}$$

$$\int_{-\pi}^{\pi}\sin(nx)\cos(mx)\,dx=0\quad \forall m,n.$$

Aquesta ortogonalitat explica per què els coeficients de Fourier es calculen per projecció.

## 3. Coeficients de Fourier

Si $f$ és integrable (per exemple, $f\in L^2[-\pi,\pi]$), definim:

$$a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,$$

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge 1,$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge 1.$$

La sèrie de Fourier formal associada és:

$$S_f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big).$$

## 4. Forma complexa

Amb $e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)$, la sèrie pren la forma:

$$f(x)\sim \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx},$$

on

$$c_n=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}\,dx.$$

Relacions: $c_0=a_0/2$, $c_n=(a_n-ib_n)/2$ per $n\ge1$, $c_{-n}=(a_n+ib_n)/2$.

## 5. Simetries

- Si $f$ és **parella**, $b_n=0$ i només apareixen cosinus. - Si $f$ és **senar**, $a_n=0$ i només apareixen sinus.

Aquest fet simplifica molt els càlculs.

## 6. Convergència de la sèrie de Fourier

### 6.1 Condicions de Dirichlet

Si $f$ és periòdica, de variació acotada (o peça a peça $C^1$) i té un nombre finit de discontinuïtats i extrems en $[-\pi,\pi]$, aleshores la sèrie de Fourier convergeix per a tot $x$ a:

$$\lim_{N\to\infty} S_N(x)=\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}.$$

En punts de continuïtat, convergeix a $f(x)$. En punts de discontinuïtat, convergeix a la mitjana dels límits laterals.

### 6.2 Fenomen de Gibbs

Prop d’una discontinuïtat, les sumes parcials presenten oscil·lacions que no desapareixen en alçada (sobreoscil·lació d’aprox. 9%), tot i que s’estrenyen en amplada. És el **fenomen de Gibbs**.

### 6.3 Convergència en $L^2$ i identitat de Parseval

Per a $f\in L^2[-\pi,\pi]$, la sèrie de Fourier convergeix a $f$ en norma $L^2$.

**Parseval:**

$$\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2\,dx=\frac{a_0^2}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).$$

Equivalent complexa:

$$\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n|^2.$$

## 7. Sèries de Fourier en període general

Si $f$ té període $T$, fem el canvi $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$:

$$f(t)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\big(a_n\cos(n\omega_0 t)+b_n\sin(n\omega_0 t)\big),$$

on

$$a_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt,\qquad b_n=\frac{2}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt.$$

## 8. Exemples clàssics

### 8.1 Ona quadrada

Definim $f(x)=1$ si $0<x<\pi$, i $f(x)=-1$ si $-\pi<x<0$, periòdica. És senar, per tant $a_n=0$.

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} 1\cdot\sin(nx)dx=\frac{2}{\pi}\left[\frac{1-\cos(n\pi)}{n}\right].$$

Així $b_n=\frac{4}{\pi n}$ si $n$ és imparell, i $b_n=0$ si $n$ és parell. Per tant:

$$f(x)\sim \frac{4}{\pi}\left(\sin x+\frac{1}{3}\sin 3x+\frac{1}{5}\sin 5x+\cdots\right).$$

### 8.2 Deducció de sèries numèriques

Avaluant en punts concrets i usant Parseval s’obtenen identitats com:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.$$

(Exemple: Fourier de $f(x)=x$ o $f(x)=x^2$.)

## 9. Aplicacions a EDP: equació de la calor (esbós)

En una barra $0<x<L$ amb temperatura $u(x,t)$ i condicions de Dirichlet homogènies $u(0,t)=u(L,t)=0$, l’equació de la calor és:

$$u_t=k u_{xx}.$$

Busquem solucions separables $u(x,t)=X(x)T(t)$. S’obté:

$$X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(L)=0 \Rightarrow X_n(x)=\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right),\ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^2,$$

$$T_n(t)=e^{-k\lambda_n t}.$$

La solució general:

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-k(n\pi/L)^2 t},$$

on $b_n$ són coeficients de Fourier sinus de la condició inicial $u(x,0)=f(x)$.

## 10. Conclusions

Les sèries de Fourier proporcionen una base ortogonal per expandir funcions periòdiques i analitzar-les tant qualitativament com quantitativament. Les condicions de Dirichlet expliquen la convergència puntual i el fenomen de Gibbs descriu el comportament prop de discontinuïtats. Parseval connecta energia i coeficients. A nivell aplicat, són essencials per resoldre EDP per separació de variables i per al tractament de senyals.