T23. Integració de funcions d'una variable real

Desarrollo del tema

# INTEGRACIÓ DE FUNCIONS D'UNA VARIABLE REAL

## 1. Introducció

La **integració** és una de les operacions fonamentals del càlcul, amb dos aspectes complementaris: la **integral indefinida** (primitiva o antiderivada) i la **integral definida** (àrea sota la corba). El **Teorema Fonamental del Càlcul** estableix la connexió profunda entre ambdós conceptes.

Aquest tema desenvolupa la teoria de la integració, les tècniques principals i les aplicacions geomètriques i físiques.

## 2. La Integral Indefinida

### 2.1 Primitiva o antiderivada

Una funció $F(x)$ és una **primitiva** de $f(x)$ en un interval $I$ si: $$F'(x) = f(x) \quad \forall x \in I$$

**Teorema:** Si $F$ és una primitiva de $f$, llavors totes les primitives de $f$ són de la forma $F(x) + C$, on $C$ és una constant arbitrària.

### 2.2 Notació

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

on $f(x)$ és l'**integrand**, $dx$ indica la variable d'integració, i $C$ és la **constant d'integració**.

### 2.3 Propietats

- **Linealitat:** $\int [af(x) + bg(x)]\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$ - **Verificació:** $\frac{d}{dx}\left[\int f(x)\,dx\right] = f(x)$

## 3. Integrals Immediates

### 3.1 Taula de primitives fonamentals

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$

$$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \quad (a > 0, a \neq 1)$$

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

$$\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$$

$$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$

$$\int \csc^2 x\,dx = -\cot x + C$$

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$

$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}}\,dx = \ln|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C$$

### 3.2 Integrals quasi-immediates

Si $u = g(x)$: $$\int f(g(x)) \cdot g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$$

**Exemples:** $$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln|f(x)| + C$$ $$\int f'(x) \cdot e^{f(x)}\,dx = e^{f(x)} + C$$

## 4. Mètodes d'Integració

### 4.1 Canvi de variable (substitució)

Si $x = \phi(t)$ amb $\phi$ derivable i invertible: $$\int f(x)\,dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t)\,dt$$

**Substitucions clàssiques:** - $\sqrt{a^2 - x^2}$: fer $x = a\sin t$ - $\sqrt{a^2 + x^2}$: fer $x = a\tan t$ - $\sqrt{x^2 - a^2}$: fer $x = a\sec t$

**Exemple:** $\int \sqrt{1-x^2}\,dx$

Fem $x = \sin t$, $dx = \cos t\,dt$: $$\int \sqrt{1-\sin^2 t} \cos t\,dt = \int \cos^2 t\,dt = \frac{t + \sin t \cos t}{2} + C = \frac{\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}}{2} + C$$

### 4.2 Integració per parts

Basada en la regla del producte: $(uv)' = u'v + uv'$

**Fórmula:** $$\int u\,dv = uv - \int v\,du$$

**Regla ILATE** per escollir $u$ (en ordre de preferència): - **I**nverses trigonomètriques - **L**ogarítmiques - **A**lgebraiques - **T**rigonomètriques - **E**xponencials

**Exemple:** $\int x e^x\,dx$

$u = x$, $dv = e^x dx$; $du = dx$, $v = e^x$ $$\int x e^x\,dx = xe^x - \int e^x\,dx = xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C$$

**Cas cíclic:** A vegades cal aplicar parts dues vegades i resoldre una equació.

### 4.3 Integració de funcions racionals

Per integrar $\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$:

**Pas 1:** Si grau$(P) \geq$ grau$(Q)$, fer divisió polinòmica.

**Pas 2:** Factoritzar $Q(x)$ i descomposar en fraccions simples:

- Factor $(x-a)^n$: $\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \cdots + \frac{A_n}{(x-a)^n}$ - Factor $(x^2+bx+c)^m$ irreductible: $\frac{B_1 x + C_1}{x^2+bx+c} + \cdots + \frac{B_m x + C_m}{(x^2+bx+c)^m}$

**Pas 3:** Integrar cada fracció simple: $$\int \frac{A}{(x-a)^n}\,dx = \begin{cases} A\ln|x-a| + C & n=1 \\ \frac{A}{(1-n)(x-a)^{n-1}} + C & n>1 \end{cases}$$

Per fraccions amb denominador quadràtic irreductible, completar el quadrat i usar arctangent.

### 4.4 Integrals trigonomètriques

**Tipus $\int \sin^m x \cos^n x\,dx$:** - Si $m$ o $n$ és senar: substituir per la identitat $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ - Si ambdós són parells: usar fórmules de reducció d'angle

**Fórmules útils:** $$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$ $$\sin x \cos x = \frac{\sin 2x}{2}$$

**Substitució universal de Weierstrass:** $t = \tan\frac{x}{2}$ $$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad dx = \frac{2\,dt}{1+t^2}$$

### 4.5 Integrals amb radicals

**Substitució d'Euler** per $\sqrt{ax^2 + bx + c}$: - Si $a > 0$: $\sqrt{ax^2+bx+c} = t \pm x\sqrt{a}$ - Si $c > 0$: $\sqrt{ax^2+bx+c} = tx \pm \sqrt{c}$

**Integrals binòmies:** $\int x^m (a+bx^n)^p\,dx$ és resoluble en termes elementals només si $p \in \mathbb{Z}$, o $\frac{m+1}{n} \in \mathbb{Z}$, o $\frac{m+1}{n} + p \in \mathbb{Z}$ (teorema de Chebyshev).

## 5. La Integral Definida

### 5.1 Construcció de Riemann

Sigui $f$ fitada en $[a,b]$. Una **partició** $P = \{a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b\}$ divideix l'interval.

**Sumes de Riemann:** - Suma inferior: $L(P,f) = \sum_{i=1}^{n} m_i \Delta x_i$ on $m_i = \inf\{f(x) : x \in [x_{i-1}, x_i]\}$ - Suma superior: $U(P,f) = \sum_{i=1}^{n} M_i \Delta x_i$ on $M_i = \sup\{f(x) : x \in [x_{i-1}, x_i]\}$

**Definició:** $f$ és **integrable Riemann** en $[a,b]$ si: $$\sup_P L(P,f) = \inf_P U(P,f) = \int_a^b f(x)\,dx$$

### 5.2 Condicions d'integrabilitat

**Teorema:** Tota funció contínua en $[a,b]$ és integrable.

**Teorema:** Tota funció monòtona fitada en $[a,b]$ és integrable.

**Teorema:** Una funció fitada és integrable si i només si el conjunt de discontinuïtats té mesura zero.

### 5.3 Propietats de la integral definida

1. **Linealitat:** $\int_a^b [af + bg] = a\int_a^b f + b\int_a^b g$

2. **Additivitat:** $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$

3. **Monotonia:** Si $f \leq g$ en $[a,b]$, llavors $\int_a^b f \leq \int_a^b g$

4. **Valor absolut:** $\left|\int_a^b f\right| \leq \int_a^b |f|$

5. **Acotació:** Si $m \leq f(x) \leq M$, llavors $m(b-a) \leq \int_a^b f \leq M(b-a)$

## 6. Teorema Fonamental del Càlcul

### 6.1 Primera part

Si $f$ és contínua en $[a,b]$, la funció $F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$ és derivable i: $$F'(x) = f(x)$$

**Corol·lari:** Tota funció contínua té primitiva.

### 6.2 Segona part (Regla de Barrow)

Si $f$ és contínua en $[a,b]$ i $F$ és una primitiva de $f$: $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) = [F(x)]_a^b$$

### 6.3 Canvi de variable en integral definida

Si $x = \phi(t)$ amb $\phi'$ contínua: $$\int_a^b f(x)\,dx = \int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(b)} f(\phi(t)) \cdot \phi'(t)\,dt$$

### 6.4 Parts en integral definida

$$\int_a^b u\,dv = [uv]_a^b - \int_a^b v\,du$$

## 7. Integrals Impròpies

### 7.1 Interval no fitat

$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{b \to +\infty} \int_a^b f(x)\,dx$$

Si el límit existeix i és finit, la integral és **convergent**.

### 7.2 Integrand no fitat

Si $f$ té una singularitat en $c \in [a,b]$: $$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\epsilon \to 0^+} \int_a^{c-\epsilon} f(x)\,dx + \lim_{\delta \to 0^+} \int_{c+\delta}^b f(x)\,dx$$

### 7.3 Criteris de convergència

**Comparació:** Si $0 \leq f \leq g$: - $\int g$ convergent $\Rightarrow \int f$ convergent - $\int f$ divergent $\Rightarrow \int g$ divergent

**Criteri de comparació per al límit:** Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L > 0$, les dues integrals tenen el mateix caràcter.

**Integral de referència:** $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx$ convergeix $\Leftrightarrow p > 1$

## 8. Aplicacions Geomètriques

### 8.1 Àrea entre corbes

$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx$$

### 8.2 Longitud d'arc

$$L = \int_a^b \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$

### 8.3 Volum de revolució

**Mètode dels discos** (eix X): $$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$$

**Mètode dels tubs** (eix Y): $$V = 2\pi \int_a^b x \cdot f(x)\,dx$$

### 8.4 Àrea de superfície de revolució

$$S = 2\pi \int_a^b f(x) \sqrt{1 + [f'(x)]^2}\,dx$$

## 9. Teorema del Valor Mitjà per a Integrals

Si $f$ és contínua en $[a,b]$, existeix $c \in (a,b)$ tal que: $$\int_a^b f(x)\,dx = f(c) \cdot (b-a)$$

El valor $\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)\,dx$ és el **valor mitjà** de $f$ en $[a,b]$.

## 10. Conclusions

La integració és essencial per al càlcul d'àrees, volums, longituds i altres magnituds. El domini de les diverses tècniques (substitució, parts, fraccions simples) és fonamental per a qualsevol matemàtic. El Teorema Fonamental del Càlcul connecta la integral definida amb la primitiva, proporcionant la base per als càlculs pràctics.