📋 RESUM: Equacions en derivades parcials
• EDP: equacions per a u(x₁,…,xₙ) amb derivades parcials.
• EDP lineal de 2n ordre (2 variables): A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+…=G.
• Classificació: Δ=B²-AC.
– El·líptica (Δ<0): Laplace/Poisson, principi del màxim.
– Parabòlica (Δ=0): calor, difusió i suavització.
– Hiperbòlica (Δ>0): ones, propagació finita.
• Condicions: Dirichlet (u), Neumann (∂u/∂n), Robin (combinació); inicials en evolutives.
• Separació de variables: u=X·T ⇒ problemes d’autovalors Sturm–Liouville; apareixen sèries de Fourier.
• Calor (0,L): u(x,t)=Σ b_n sin(nπx/L)e^{-k(nπ/L)²t}.
• Ones (0,L): u(x,t)=Σ (A_n cos(nπct/L)+B_n sin(nπct/L)) sin(nπx/L).
• Característiques (1r ordre): a u_x+b u_y=c ⇒ dx/ds=a, dy/ds=b, du/ds=c.
Desarrollo del tema
# EQUACIONS EN DERIVADES PARCIALS
## 1. Introducció
Les **equacions en derivades parcials** (EDP) relacionen una funció desconeguda $u(x_1,\dots,x_n)$ amb les seves derivades parcials. Són el llenguatge natural de la física matemàtica: difusió (calor), vibracions (ones), electrostàtica (Laplace/Poisson), mecànica quàntica (Schrödinger), etc.
Aquest tema presenta els models clàssics, la classificació de segon ordre i mètodes bàsics de resolució: separació de variables, sèries de Fourier i característiques.
## 2. Classificació d’EDP de segon ordre (2 variables)
**Propietats:** suavitat, principi del màxim (en domini connex, una harmònica no té màxim intern a menys que sigui constant), unicitat de solució per condicions de Dirichlet adequades.
### 3.2 Equació de la calor (parabòlica)
En 1D:
$$u_t=k u_{xx},\quad k>0.$$
Modelitza difusió/transferència tèrmica. Té propietat de suavització i principi del màxim/paràmetres temporals.
### 3.3 Equació de les ones (hiperbòlica)
En 1D:
$$u_{tt}=c^2 u_{xx},\quad c>0.$$
Modelitza vibracions d’una corda. En domini infinit, la solució general (d’Alembert) és:
$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$
## 4. Problemes de contorn i inicials
### 4.1 Tipus de condicions
- **Dirichlet:** $u$ fixat a la frontera (temperatura imposada)
- **Neumann:** derivada normal $\partial u/\partial n$ (flux imposat)
- **Robin:** combinació $\alpha u+\beta \partial u/\partial n$.
En equacions evolutives:
- **Condició inicial:** $u(x,0)=f(x)$
- Per ones també cal $u_t(x,0)=g(x)$.
## 5. Separació de variables i problemes Sturm–Liouville
La separació consisteix a provar $u(x,t)=X(x)T(t)$. Sovint porta a un problema d’autovalors:
$$-(pX')'+qX=\lambda wX$$
amb condicions de contorn. Els autovectors formen una base ortogonal en $L^2_w$.
Al llarg d’aquestes corbes, l’EDP es redueix a una EDO.
**Exemple:** $u_x+u_y=0$ ⇒ característiques $x-y=\text{const}$ ⇒ solució general $u(x,y)=F(x-y)$.
## 9. Principis qualitatius
- **Laplace:** principi del màxim i propietat de mitjana.
- **Calor:** dissipació i suavització; el màxim disminueix amb el temps.
- **Ones:** propagació finita de la informació; energia conservada (sense amortiment).
## 10. Conclusions
Les EDP de segon ordre es classifiquen en el·líptiques, parabòliques i hiperbòliques, cadascuna amb comportaments i condicions naturals diferents. Els mètodes de separació de variables i Fourier són centrals per resoldre problemes en dominis simples, mentre que el mètode de característiques és essencial per a EDP de primer ordre i per entendre propagació d’informació.
Estudia este tema con OPOSGRATIS
Has leído el desarrollo del tema. Para consolidar tu aprendizaje, estudia las flashcards asociadas con repetición espaciada (algoritmo SM-2), realiza simulacros de examen, y practica el supuesto práctico. Todo gratis y sin registro previo.
