Equacions en derivades parcials

📋 RESUM: Equacions en derivades parcials • EDP: equacions per a u(x₁,…,xₙ) amb derivades parcials. • EDP lineal de 2n ordre (2 variables): A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}+…=G. • Classificació: Δ=B²-AC. – El·líptica (Δ<0): Laplace/Poisson, principi del màxim. – Parabòlica (Δ=0): calor, difusió i suavització. – Hiperbòlica (Δ>0): ones, propagació finita. • Condicions: Dirichlet (u), Neumann (∂u/∂n), Robin (combinació); inicials en evolutives. • Separació de variables: u=X·T ⇒ problemes d’autovalors Sturm–Liouville; apareixen sèries de Fourier. • Calor (0,L): u(x,t)=Σ b_n sin(nπx/L)e^{-k(nπ/L)²t}. • Ones (0,L): u(x,t)=Σ (A_n cos(nπct/L)+B_n sin(nπct/L)) sin(nπx/L). • Característiques (1r ordre): a u_x+b u_y=c ⇒ dx/ds=a, dy/ds=b, du/ds=c.