T15. Resolució de sistemes d'equacions lineals. Discussió de sistemes

Desarrollo del tema

# RESOLUCIÓ DE SISTEMES D'EQUACIONS LINEALS. DISCUSSIÓ DE SISTEMES

## 1. Introducció

Els **sistemes d'equacions lineals** són omnipresents en matemàtiques i les seves aplicacions: enginyeria, economia, física, informàtica. La seva resolució sistemàtica mitjançant mètodes matricials és una de les fites de l'àlgebra lineal, amb el **teorema de Rouché-Frobenius** com a eina central per a la discussió.

## 2. Formulació Matricial

Un sistema de $m$ equacions lineals amb $n$ incògnites: $$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

s'escriu matricialment com: $$Ax = b$$

on: - $A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{m \times n}$ és la **matriu de coeficients** - $x = (x_1, \ldots, x_n)^T$ és el **vector d'incògnites** - $b = (b_1, \ldots, b_m)^T$ és el **vector de termes independents** - $(A|b) \in \mathcal{M}_{m \times (n+1)}$ és la **matriu ampliada**

### Classificació

- **Sistema homogeni:** $b = \vec{0}$ (termes independents tots zero) - **Sistema no homogeni:** $b \neq \vec{0}$ - **Sistema compatible:** Té almenys una solució - **Sistema incompatible:** No té cap solució - **Sistema determinat:** Té solució única - **Sistema indeterminat:** Té infinites solucions

## 3. Teorema de Rouché-Frobenius

**Teorema:** El sistema $Ax = b$ és **compatible** si i només si: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b)$$

A més, si el sistema és compatible amb $\text{rang}(A) = r$ i $n$ incògnites:

- Si $r = n$: sistema **compatible determinat** (solució única) - Si $r < n$: sistema **compatible indeterminat** amb $\infty^{n-r}$ solucions (graus de llibertat = $n - r$)

### Interpretació

- El rang $r$ és el nombre d'equacions "realment independents" - $n - r$ és el nombre de **paràmetres lliures** (incògnites que podem escollir arbitràriament)

## 4. Discussió de Sistemes

### 4.1 Sistemes homogenis ($Ax = 0$)

Sempre són compatibles (la solució trivial $x = \vec{0}$ sempre existeix).

- Si $\text{rang}(A) = n$: només solució trivial - Si $\text{rang}(A) < n$: infinites solucions (subespai de dimensió $n - r$)

**Teorema:** Si $m < n$ (menys equacions que incògnites), el sistema homogeni té solucions no trivials.

### 4.2 Sistemes amb paràmetres

Quan els coeficients depenen d'un paràmetre $k$, cal **discutir** segons els valors de $k$:

**Exemple:** Discutir segons $k$: $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + ky + z = k \\ x + y + kz = k^2 \end{cases}$

1. Calcular $\det(A)$ en funció de $k$ 2. Si $\det(A) \neq 0$: compatible determinat 3. Si $\det(A) = 0$: estudiar rangs de $A$ i $(A|b)$ per a cada valor crític

## 5. Mètodes de Resolució

### 5.1 Mètode de Gauss (Eliminació)

Reduir la matriu ampliada a **forma escalonada** mitjançant operacions elementals:

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \\ 0 & a'_{22} & \cdots & a'_{2n} & | & b'_2 \\ \vdots & \ddots & & \vdots & | & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a'_{rn} & | & b'_r \end{pmatrix}$$

Després, **substitució regressiva** des de l'última equació.

### 5.2 Mètode de Gauss-Jordan

Continuar l'escalonament fins a forma **escalonada reduïda** (pivots = 1, zeros a dalt i a baix de cada pivot). La solució es llegeix directament.

### 5.3 Regla de Cramer

Per a sistemes $n \times n$ amb $\det(A) \neq 0$: $$x_j = \frac{\det(A_j)}{\det(A)}$$

on $A_j$ és $A$ amb la columna $j$ substituïda per $b$.

**Limitacions:** Només per sistemes quadrats compatibles determinats. Cost computacional elevat.

### 5.4 Matriu inversa

Si $A$ és quadrada i invertible: $$x = A^{-1} b$$

### 5.5 Factorització LU

Descompondre $A = LU$ on $L$ és triangular inferior i $U$ triangular superior. Llavors: 1. Resoldre $Ly = b$ (substitució progressiva) 2. Resoldre $Ux = y$ (substitució regressiva)

Útil quan cal resoldre $Ax = b$ per a diversos vectors $b$.

## 6. Estructura de les Solucions

### 6.1 Sistemes no homogenis

Si $x_p$ és una **solució particular** de $Ax = b$, llavors la **solució general** és: $$x = x_p + x_h$$

on $x_h$ és la solució general del sistema homogeni associat $Ax = 0$.

**Geomètricament:** Les solucions formen una varietat lineal afí (subespai traslladat).

### 6.2 Espai de solucions del sistema homogeni

El conjunt de solucions de $Ax = 0$ és el **nucli** de la matriu $A$: $$\ker(A) = \{x \in K^n : Ax = 0\}$$

És un **subespai vectorial** de $K^n$ amb dimensió $n - \text{rang}(A)$.

Una base d'aquest subespai es diu **sistema fonamental de solucions**.

## 7. Interpretació Geomètrica

### En $\mathbb{R}^2$ (2 incògnites)

Cada equació representa una **recta**: - Sistema compatible determinat: les rectes es tallen en un punt - Sistema compatible indeterminat: les rectes coincideixen - Sistema incompatible: les rectes són paral·leles (no coincidents)

### En $\mathbb{R}^3$ (3 incògnites)

Cada equació representa un **pla**: - 1 solució: els tres plans es tallen en un punt - Recta de solucions: els tres plans es tallen en una recta - Pla de solucions: els tres plans coincideixen - Incompatible: configuracions sense punt comú (paral·lelismes, etc.)

## 8. Sistemes amb Infinites Solucions

Quan $\text{rang}(A) = \text{rang}(A|b) = r < n$:

1. **Identificar variables principals** (corresponents als pivots) i **variables lliures** (la resta) 2. Assignar paràmetres $\lambda_1, \ldots, \lambda_{n-r}$ a les variables lliures 3. Expressar les variables principals en funció dels paràmetres

**Exemple:** Del sistema escalonat: $$\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

Variables principals: $x, y$. Variable lliure: $z = \lambda$.

$y = 1 - \lambda$, $x = 3 - 2y + z = 3 - 2(1-\lambda) + \lambda = 1 + 3\lambda$

Solució: $(x, y, z) = (1, 1, 0) + \lambda(3, -1, 1)$

## 9. Mètodes Numèrics

Per a sistemes grans, s'utilitzen mètodes iteratius:

### 9.1 Mètode de Jacobi

$$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j \neq i} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$

### 9.2 Mètode de Gauss-Seidel

Usa els valors $x_j^{(k+1)}$ tan bon punt estan disponibles: $$x_i^{(k+1)} = \frac{1}{a_{ii}} \left( b_i - \sum_{j < i} a_{ij} x_j^{(k+1)} - \sum_{j > i} a_{ij} x_j^{(k)} \right)$$

**Convergència:** Garantida si $A$ és estrictament diagonal dominant ($|a_{ii}| > \sum_{j \neq i} |a_{ij}|$).

## 10. Sistemes Sobredeterminats i Mínims Quadrats

Quan $m > n$ (més equacions que incògnites) i el sistema és incompatible, es busca la **solució de mínims quadrats**: el vector $\hat{x}$ que minimitza $\|Ax - b\|^2$.

**Equacions normals:** $$A^T A \hat{x} = A^T b$$

Si les columnes de $A$ són LI, $A^T A$ és invertible i: $$\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T b$$

**Aplicació:** Regressió lineal, ajust de dades.

## 11. Aplicacions

### 11.1 Circuits elèctrics (lleis de Kirchhoff)

Les equacions de malles i nusos formen sistemes lineals.

### 11.2 Estàtica (equilibri de forces)

$\sum \vec{F} = 0$ i $\sum \vec{M} = 0$ donen sistemes lineals per a les forces.

### 11.3 Economia (model de Leontief)

Producció de sectors interconnectats: $(I - A)x = d$

### 11.4 Ajust de dades

Interpolació polinòmica, regressió múltiple.

## 12. Aplicacions Didàctiques

### 12.1 ESO

- Sistemes 2×2: mètodes de substitució, igualació, reducció - Interpretació gràfica: intersecció de rectes

### 12.2 Batxillerat

- Sistemes 3×3: mètode de Gauss - Discussió amb paràmetres - Regla de Cramer

## 13. Conclusions

El teorema de Rouché-Frobenius proporciona el criteri definitiu per a la compatibilitat de sistemes lineals. El mètode de Gauss és l'algoritme fonamental de resolució, mentre que Cramer és útil per a casos petits o teòrics. L'estructura afí de les solucions (particular + homogènia) és clau per entendre sistemes indeterminats.